$\text{a) Xét ΔAMC và ΔEMB có:}$

$\text{AM = EM (giả thiết)}$

$\widehat{AMC}$ = $\widehat{EMB}$ $\text{(đối đỉnh)}$

$\text{MC = MB (M trung điểm BC)}$

⇒ $\text{ΔAMC = ΔEMB (c.g.c) (1)}$

$\text{b) Từ (1) ⇒ $\widehat{MBE}$ = $\widehat{MCA}$ (2 góc tương ứng)}$

$\text{mà 2 góc này ở vị trí so le trong}$

⇒ $\text{AC // BE }$

$\text{c) Xét ΔAMI và ΔEMK có:}$

$\text{AM = EM (giả thiết)}$

$\text{Từ (1)}$ ⇒ $\widehat{IAM}$ = $\widehat{KEM}$ $\text{(2 góc tương ứng)}$

$\text{AI = EK (giả thiết)}$

⇒ $\text{ΔAMI = ΔEMK (c.g.c)}$

⇒ $\widehat{AMI}=\widehat{EMK}$ (hai góc tương ứng bằng nhau) (1)

Mà $\widehat{AMI}+\widehat{IME}=180^o$ (do $A, M, E\text{thẳng hàng nên }\widehat{AME}$ là góc bẹt) (2)

thay (1) vào (2)

$\Rightarrow\widehat{EMK}+\widehat{IME}=180^o$

$\Rightarrow\widehat{IMK}=180^o$ là góc bẹt

$\Rightarrow I, M, K$ thẳng hàng.