a)

Theo đề bài, ta có $ΔABC$ đều

$=> AB = AC = BC$

Mà $BE = BC$

$=> AB = BE$

Xét $ΔAEB$ ta có $AB = BE $

$=> ΔAEB$ là tam giác cân tại $B$

b)

Vì $ΔABC$ đều nên

$\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = \widehat{BAC} = 60^0$

Vì BE là tia đối của BC nên $\widehat{CBE} = 180^0$

Ta có $\widehat{ABC} + \widehat{ABE} = \widehat{CBE} = 180^0$

 => $\widehat{ABE}= 180^0 - \widehat{ABC} = 180^0 - 60^0 = 120^0$

 Xét $ΔABE$ cân tại$ B =>$ $\widehat{AEB} = $$\widehat{BAE}$  

Ta có $\widehat{AEB}+ \widehat{EAB} + \widehat{EBA}= 180^0$ (Tổng ba góc trong tam giác bằng $180^0$)   

$=> 2\widehat{EAB} + \widehat{EBA}= 180^0$ ( do $\widehat{AEB} = $$\widehat{BAE}$  )

$ => 2\widehat{EAB} = 180^0- \widehat{EBA} = 180^0 - 120^0 = 60^0$

$ => \widehat{EAB} = 60^0 : 2 = 30^0$

Lại có $\widehat{EAB} + \widehat{BAC} = \widehat{EAC}$

$ => \widehat{EAC} = 30^0 + 60^0 = 90^0$

Vì $\widehat{EAC} = 90^0$ nên $AE ⊥ AC (1)$

Theo đề bài ta có $AE ⊥ BF (2)$

Từ $(1)$ và$ (2)$ suy ra $BF // CA$

$c)$

Xét $Δ AEC$ ta có $BE = BC$

$=> AB$ là đường trung tuyến của tam giác $AEC (3)$

Xét $Δ AEB$ cân tại $B$ có $BF ⊥ AE$  

$=> BF$ là đường trung tuyến của $Δ AEB $

$=> EF = AF$

Xét $Δ AEC$ có $AF = EF$

$=>$ $CF$ là đường trung tuyến của tam giác $AEC (4)$

Mà $AB$ cắt $CF$ tại $H (5)$

Từ $(3), (4), (5)$  suy ra $H$ là trọng tâm của tam giác $AEC$

$=> \dfrac{AH}{AB} = \dfrac{2}{3}$ (tính chất đường trung tuyến)

d)

Vì $ΔABC$ đều nên $ AC = BC $

$=> BC = 3 (cm)$

Mà $BC = EB => BC = \dfrac{1}{2} EC$

$=> EC = 3 . 2 = 6 (cm)$

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác $CAE$ vuông tại $A$ ta có

$AE^2 + AC^2 = EC^2$

$ => AE^2 = EC^2 - AC^2$

$ => AE^2 = 6^2 - 3^2 = 36 -9 = 27$

$ => AE ≈ 5,196 (cm)$

( Số $5,196$ nếu làm tròn sẽ thành $5,2$ mà đề yêu cầu làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai nên

mình để số $5,196$ nha)