Đáp án+Giải thích các bước giải:

 `1)` 

Để `7/{x+1}` là số nguyên thì `7vdotsx+1`

`⇔x+1∈Ư(7)`

`⇔x+1∈{±1;±7}`

`⇔x∈{0 ; -2 ; 6 ; -8}`

Vậy `x∈{0 ; -2 ; 6 ; -8}` thì `7/{x+1}` là số nguyên .

`2)`

Gọi $ƯCLN(2n+3;n+1)=d$

Ta có :

`{(2n+3vdotsd),(n+1vdotsd):}`

`⇔{(2n+3vdotsd),(2(n+1)vdotsd):}`

`⇔{(2n+3vdotsd),(2n+2vdotsd):}`

`⇔(2n+3)-(2n+2)vdotsd`

`⇔1vdotsd`

`⇔d=1`

Vì $ƯCLN(2n+3;n+1)=1$ `⇔` `{n+1}/{2n+3}` là phân số tối giản .

`1)  7/(x+1) ∈Z`

`→ x+1 ∈Ư(7)={±1; ±7}`

Ta có bảng sau:

`x+1             -1                 1                  7                -7 `

`x                  -2                 0                  6                -8`      

Vậy để `7/(x+1) ∈Z` thì `x∈{-2; 0; 6; -8}`       

`2)`  Gọi `a` là `ƯCLN(n+1; 2n+3)`

→ `n+1⋮ a↔2(n+1)⋮ a`

    `2n+3⋮ a` 

`⇒(2n+3)-2(n+1)⋮ a`

`⇔2n+3-2n-2⋮ a` `⇔1⋮ a`  

  → `a=1`

 Vì `a=ƯCLN(n+1; 2n+3)=1` nên `(n+1)/(2n+3)` là phân số tối giản (đpcm)