~  gửi bạn ~

--

`a)`

Có: `Δ ABC` vuông tại `A` `(`gt`)`

`⇒ hat(BAC)=90^0`

hay `hat(DAE)=90^0`

`• D` là chân đường vuông góc kẻ từ `M` đến `AB` `(`gt`)`

`⇒DM⊥AB` tại `D`

`⇒ hat(ADM)= hat(BDM)=90^0`

`• E` là chân đường vuông góc kẻ từ `M` đến `AC` `(`gt`)`

`⇒EM⊥AC` tại `E`

`⇒ hat(MEA)= hat(MEC)=90^0`

`• ` Xét tứ giác `ADME`,có:

`hat(DAE)= hat(ADM)= hat(AEM)=90^0` `(cmt)`

`⇒`Tứ giác `ADME` là hình chữ nhật `(dhnb)`

-------------------

`b)`

Do: `ADME` là hình chữ nhật `(cma)` 

`⇒ AM` cắt `DE` tại trung điểm mỗi đường 

mà: `I` là trung điểm của `DE` `(`gt`)`

`⇒ I ` cũng là trung điểm của `AM`

`⇒` 3 điểm `I,A,M` thẳng hàng

-------------------

`c)`

Kẻ `AK⊥BC ` tại `K`

Do: `ADME` là hình chữ nhật `(cma)` 

`⇒  AM=DE `

Có: `AM≥AK` `(`Khoảng cách các đoạn cùng một điểm kéo xuống cùng một mặt phẳng`)`

Dấu `"="` xảy ra `⇔ AM=AK`

                          `⇔ AM⊥BC` tại `M`

                          `⇔` `M` là chân đường vuông góc kẻ từ `A` xuống `BC`

Vậy `DE` có độ dài nhỏ nhất `⇔ M` là chân đường vuông góc kẻ từ `A` xuống `BC`

..........

Giả sử `M` là chân đường vuông góc kẻ từ `A` xuống `BC.`

`•` Xét `Δ ABC` vuông tại `A` `(`gt`)`, có:

`BC^²=AB^²+AC^²``(`Định lý Py-ta-go`)`

`=>BC^²=15^²+20^²`

`=>BC^²=625`

`⇒BC=25` `(cm)`

`•` Có: `M` là chân đường vuông góc kẻ từ `A` xuống `BC`

`⇒AM⊥BC` tại `M`

`⇒ hat(AMB)=hat(AMC)= 90^0`

Xét `Δ MBA` và `Δ ABC`, có:

`hat(AMB)= hat(BAC)=90^0`

`hat(ABC)-` chung

`⇒ΔMBA ~ ΔABC` `(g.g)`

`⇒ {AM}/{AC} = {AB}/{BC}`

`⇒AM=12` `cm` hay `DE=12` `cm` `(đpcm)`