$\Delta ABM$ nội tiếp đường tròn $(O)$ đường kính $AB$ $\Rightarrow \Delta AMB$ vuông tại $M$ Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông $ABM$ ta có: $AM=\sqrt{AB^2-BM^2}=\sqrt{(2R)^2-R^2}=R\sqrt{3}$ Xét $\Delta COA$ và $\Delta COM$ có: $\left\{ \begin{array}{l} CO\text{ chung} \\ \widehat A=\widehat M=90^o \\AO=MO\end{array} \right . $ $\Rightarrow \Delta COA=\Delta COM$ (ch.cgv) $\Rightarrow CA=CM$ $\Rightarrow \Delta CAM$ cân đỉnh $M$ Gọi $CO\cap AM=I$ $CO\bot AM\Rightarrow CI\bot AM\Rightarrow CI$ là đường trung tuyến $\Rightarrow I$ là trung điểm của $AM$ $\Rightarrow AI=\dfrac{1}{2}AM=\dfrac{R\sqrt3}{2}$ Ta có: $OB=OM=BM=R$ $\Rightarrow\Delta OMB$ là tam giác đều $\Rightarrow \widehat{OBM}=60^o$ $\Rightarrow \widehat{AOC}=\widehat{OBM}=60^o$ (đồng vị) $\Rightarrow \widehat{ACO}=30^o$ Áp đụng hệ thức lượng vào tam giác vuông $CAO$ ta có: $\tan \widehat{ACO}=\dfrac{AI}{CI}$ $\Rightarrow CI=\dfrac{AI}{\tan \widehat{ACO}}=\dfrac{\dfrac{R\sqrt3}{2}}{\tan 30^o}=\dfrac{3R}{2}$ $\Rightarrow S_{\Delta CAM}=\dfrac{1}{2}CI.AM=\dfrac{1}{2}\dfrac{3R}{2}R\sqrt{3}=\dfrac{3\sqrt3R^2}{4}$.