Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 

a)

Ta có $HD\bot AB\,\,;\,\,HE\bot AC$ (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)

Tứ giác $ADHE$ có $\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=90{}^\circ $

$\Rightarrow \widehat{ADH}+\widehat{AEH}=180{}^\circ $

$\Rightarrow ADHE$ nội tiếp

$\Rightarrow $Tâm $O$ là trung điểm cạnh $AH$

 

b)

Gọi $F$ là giao điểm $BM$ và $CN$

Ta sẽ có $HM\bot BF\,\,;\,\,HN\bot CF$

$\Rightarrow FMHN$ nội tiếp

Ta có:

+ $\widehat{FHN}=\widehat{FMN}$ ($FMHN$ nội tiếp)

+ $\widehat{FMN}=\widehat{BMD}$ (đối đỉnh)

+ $\widehat{BMD}=\widehat{BHD}$ ($BDMH$ nội tiếp)

+ $\widehat{BHD}=\widehat{BAH}$ (cùng phụ $\widehat{ABH}$)

+ $\widehat{BAH}=\widehat{DEH}$ ($ADHE$ nội tiếp)

+ $\widehat{DEH}=\widehat{NCH}$ ($CENH$ nội tiếp)

Nên $\widehat{FHN}=\widehat{NCH}$

Mà $\widehat{NCH}+\widehat{NHC}=90{}^\circ $

Do đó $\widehat{FHN}+\widehat{NHC}=90{}^\circ $

Hay $\widehat{FHC}=90{}^\circ $

Vậy $FH\bot BC$

Mà $AH\bot BC$

$\Rightarrow FH\equiv AH$

$\Rightarrow A,F,H$ thẳng hàng

$\Rightarrow $Giao điểm $BM,CN$ là $F$ nằm trên $AH$