Phương trình 2 nghiệm phân biệt khi $\Delta'>0$

$\Leftrightarrow m^2-m^2+m>0$

$\Leftrightarrow m>0$ 

Theo Viet:

$x_1+x_2=2m$

$x_1x_2=m^2-m$

a,

$x_1+3x_2\Rightarrow 4x_2=2m$

$\Leftrightarrow x_2=0,5m$

$\Rightarrow x_1=2m-0,5m=1,5m$

$x_1x_2=m^2-m$

$\Rightarrow 0,5m.1,5m=m^2-m$

$\Leftrightarrow 0,25m^2-m=0$

$\Leftrightarrow m=4$ (TM), $m=0$ (loại)

Vậy $m=4$

b,

$x_1=-3x_2+6\Rightarrow -2x_2+6=2m$

$\Leftrightarrow x_2=3-m$

$\Rightarrow x_1=2m-x_2= 3m-3$ 

$x_1x_2=m^2-m$

$\Rightarrow (3m-3)(3-m)=m^2-m$

$\Leftrightarrow 9m-3m^2-9+3m=m^2-m$

$\Leftrightarrow 4m^2-13m+9=0$ 

$\Leftrightarrow m=1; m=\frac{9}{4}$ (TM)

 $x^2-2mx+m^2-m=0$ (1)

    $\Delta'=(-m)^2-(m^2-m)$

            $=m^2-m^2+m$

            $=m$

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$

 $⇔\Delta'>0$

 $⇔m>0$

Theo hệ thức Vi-ét:

 $\begin{cases}x_1+x_2=2m\,(2)\\x_1x_2=m^2-m\,(3)\end{cases}$

a) Theo đề bài: $x_1=3x_2⇔x_1-3x_2=0$

Kết hợp phương trình (2) và phương trình $x_1-3x_2=0$ ta được:

 $\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1-3x_2=0\end{cases}$

 $⇔\begin{cases}4x_2=2m\\x_1+x_2=2m\end{cases}$

 $⇔\begin{cases}x_2=\dfrac{m}{2}\\x_1+\dfrac{m}{2}=2m\end{cases}$

 $⇔\begin{cases}x_2=\dfrac{m}{2}\\x_1=\dfrac{3m}{2}\end{cases}$

Thay  $\begin{cases}x_1=\dfrac{3m}{2}\\x_2=\dfrac{m}{2}\end{cases}$ vào phương trình (3) ta được:

 $\dfrac{3m}{2}.\dfrac{m}{2}=m^2-m$

 $⇔\dfrac{3m^2}{4}=m^2-m$

 $⇔4m^2-4m=3m^2$

 $⇔m^2-4m=0$

 $⇔m(m-4)=0$

 \(⇔\left[ \begin{array}{l}m=0\\m-4=0\end{array} \right.\)

 \(⇔\left[ \begin{array}{l}m=0(KTM)\\m=4(TM)\end{array} \right.\) 

Vậy để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$ thỏa mãn $x_1=3x_2$ thì $m=4$

b) Kết hợp phương trình (2) và phương trình $x_1+3x_2=6$ ta được:

      $\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1+3x_2=6\end{cases}$

      $⇔\begin{cases}x_1=3m-3\\x_2=\dfrac{6-2m}{2}\end{cases}$

Thay $\begin{cases}x_1=3m-3\\x_2=\dfrac{6-2m}{2}\end{cases}$ vào phương trình (3) ta được:

 $(3m-3).\dfrac{6-2m}{2}=m^2-m$

 $⇔18m-6m^2-18+6m=2m^2-2m$

 $⇔8m^2-26m+18=0$

 $⇒4m^2-13m+9=0$

 $⇔4m^2-4m-9m+9=0$

 $⇔4m(m-1)-9(m-1)=0$

 $⇔(m-1)(4m-9)=0$

 \(⇔\left[ \begin{array}{l}m-1=0\\4m-9=0\end{array} \right.\)

 \(⇔\left[ \begin{array}{l}m=1(TM)\\m=\dfrac{9}{4}(TM)\end{array} \right.\)

Vậy để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$ thỏa mãn $x_1+3x_2=6$ thì $m=1$ hoặc $m=\dfrac{9}{4}$