ĐK: $a,b>0$ thì mới chứng minh được $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}>=2$

BĐT Cô-si cho 2 số dương $m,n$:

$m+n>= 2\sqrt{mn}$

Dấu "$=$" xảy ra khi: $m=n$

Ta chứng minh BDDT Cô-si như sau:

$m+n>=2\sqrt{mn}$

$<=>(m+n)^2>=4mn$

$<=>(m-n)^2>=0$ (Đúng)

Dấu "$=$" xảy ra khi: $m=n$

Trở lại bài:

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương $\dfrac{a}{b},\dfrac{b}{a}$ ta được:

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}>=2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2.\sqrt{1}=2$

Dấu "$=$" xảy ra khi: $\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{a}$

$<=>a^2=b^2<=>a=b$ (Do $a,b >0$)

Giải thích các bước giải:

Có lẽ là một chút BĐT Cô - si, cũng không rõ nữa

Biểu thức đề bài $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\geq 2$

$\Leftrightarrow \dfrac{a^2}{ab}+\dfrac{b^2}{ab}\geq 2$

$\Leftrightarrow \dfrac{a^2+b^2}{ab}\geq 2$

$\Leftrightarrow \dfrac{a^2+b^2}{ab}-2\geq 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{a^2+b^2}{ab}-\dfrac{2ab}{ab}\geq 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{a^2-2ab+b^2}{ab}\geq 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{(a-b)^2}{ab}\geq 0$

Do $(a-b)^2\geq 0\forall a,b\in R$ nên để $ \dfrac{(a-b)^2}{ab}\geq 0$

Thì $a,b$ phải cùng dấu và $a,b\neq 0$ 

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $(a-b)^2=0\Leftrightarrow a-b=0 \Leftrightarrow a=b$

Vậy để $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\geq 2$ thì $a,b$ phải cùng dấu và $a,b\neq 0$