Đáp án:

a) Xét ΔABH và ΔACH có:

+ góc AHB = góc AHC = 90 độ

+ AH Chung

+ AB = AC
=> ΔABH = ΔACH (ch-cgv)

b)

Xét ΔBAH và ΔBED có:

+ BA = BE (gt)

+ góc ABH = góc EBD (đối đỉnh)

+ BH = BD (gt)

=> ΔBAH = ΔBED (c-g-c)

=> góc BHA = góc BDE = 90 độ

=> DE ⊥ BC

c) Do ΔBAH = ΔBED 

=> góc BAH = góc BED (t.c)

d) Do ΔABH = ΔACH

=> BH = CH = BC/2 = 3cm

Trong tam giác vuông ABH theo Pytago ta có:

$\begin{array}{l}
A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}\\
 \Rightarrow A{B^2} = {4^2} + {3^2} = 25\\
 \Rightarrow AB = AC = 5\left( {cm} \right)\\
 \Rightarrow {C_{ABC}} = AB + AC + BC = 16\left( {cm} \right)
\end{array}$

e)

Ta có : BD = BH

=> BD = BH = CH 

$ \Rightarrow \dfrac{{CB}}{{CD}} = \dfrac{2}{3}$

Trong tam giác CEF có CD là đường trung tuyến

Mà $ \Rightarrow \dfrac{{CB}}{{CD}} = \dfrac{2}{3}$

=> B là trọng tâm của tg CEF
=> FB đi qua trung điểm K của CE.