Đáp án:

 

Giải thích các bước giải: Vắn tắt 

a) $ BH//EC $ (cùng vuông góc $ AC$)

$ CH//EB$ (cùng vuông góc $AB$)

$ => BHCE$ là hbh (đpcm)

$ AKDM $ nt $ => HA.HD = HK.HM (đpcm)$

b) $ AD$ cắt $(O)$ tại $G \neq A; AK$ cắt $ BC$ tại $L$

$ => DH = DG $ (kinh điển) $ => AGL = LHG = AML$

$ => ALGM nt => DL.DM = DA.DG = DI.DK => KLIM nt (1)$

Mặt khác $ : IJM = DAM = IKM => KIMJ nt (2)$

$ (1); (2) => K; L; I; M; J$ cùng thuộc đường tròn đường

kính $ LM => LJ$ vuông góc $ AM$

Mà $ H$ là trực tâm $ \Delta ALM => L; H; J$ thẳng hàng (đpcm)

c) $ CH $ cắt $AB$ tại $T$

Từ giả thiết $ => PQ$ vuông góc với $ AB=> PQ//CT$

Vẽ đường kính $ CF$ của $ (O)$

$ FM $ cắt $ (O)$ tại $S \neq F => S$ cố định 

Vẽ $ MR$ vuông góc với $CT$ tại $R$

$ => R$ là trung điểm của $ CT => A; N; R$ thẳng hàng 

Do $MRCS nt => MSR = MCR = BCT $

$ = BAG = ABF = ASF$

$ => A; N; R; S $ thẳng hàng $ => AN$ qua $ S$