Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

$P,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$

$\to PN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$

$\to PN//BC$ và $PN=\dfrac{1}{2}BC$

$\to \widehat{APN}=\widehat{ABC}$

Khi đó: Hai tam giác $APN$ và $ABC$ có:

$ \widehat{APN}=\widehat{ABC}$ và $\widehat{A} $ chung

$\to \Delta APN\sim\Delta ABC(g.g)$

b) Ta có:

$E,F$ lần lượt là trung điểm của $GB,GC$

$\to EF $ là đường trung bình của tam giác $GBC$

$\to EF//BC; EF=\dfrac{1}{2}BC$

Như vậy: $EF//PN(//BC); EF=PN(=dfrac{1}{2}BC)$

$\to $ Tứ giác $EFNP$ là hình bình hành.

c) Ta có:

$P,E$ lần lượt là trung điểm của $BA,BG$

$\to PE//AG$

$\to PQ//AM$

Mà $P$ là trung điểm của $BA$ và $Q\in BM$

$\to PQ$ là đường trung bình của tam giác $ABM$

$\to QP=\dfrac{1}{2}AM$(1)

Lại có:

$PQ//AM$

$\to AG//PS$

$\to \dfrac{AG}{SP}=\dfrac{CG}{CP}$

$\to \dfrac{AG}{SP}=\dfrac{2}{3}$

$\to SP=\dfrac{3}{2}AG$

Hay $SP=AM$ (2)

Từ $(1,2)\to QP+QS=QP+QP+PS=2QP+PS=2.\dfrac{1}{2}AM+AM=2AM$

d) Ta có:

$AK//BQ\to \widehat{KAP}=\widehat{QBP}$

Xét hai tam giác $KAP$ và $QBP$ có:

$\widehat{KAP}=\widehat{QBP}$

$AP=BP$

$\widehat{APK}=\widehat{BPQ}$ (đối đỉnh)

$\to \Delta KAP=\Delta QBP(g.c.g)$

$\to PK=PQ$

$\to PK=\dfrac{1}{2}AM$

$\to PK=\dfrac{1}{2}PS$ mà $K$ thuộc đoạn $PS$

$\to K$ là trung điểm của $PS$.