a) Xét \(\Delta\)vuông HBD và \(\Delta\)vuông KCE, có:

BD=CE (gt)

\(\widehat{B_1}\)=\(\widehat{B_2}\) (đối đỉnh)

\(\widehat{C_1}\)=\(\widehat{C_2}\)(đối đỉnh)

Mà \(\widehat{B_1}\)=\(\widehat{C_1}\)(gt)

nên \(\widehat{B_2}\)=\(\widehat{C_2}\)

Do đó:\(\Delta\) HBD = \(\Delta\)KCE (c.h-g.n)

=>HB=CK (2 cạnh tương ứng)

b)Xét \(\Delta\)AHB và \(\Delta\)AKC có:

HB=CK (c/m trên)

AB=AC (gt)

\(\widehat{ABH}\)=\(\widehat{ACK}\) (vì \(\widehat{ABH}\)=180⁰-\(\widehat{B_1}\) ; \(\widehat{ACK}\)=180^o-\(\widehat{C_1}\) mà \(\widehat{B_1}\)=\(\widehat{C_1}\))

c)

Do đó: \(\Delta\)AHB = \(\Delta\)AKC (c-g-c)

=>\(\widehat{AHB}\)=\(\widehat{AKC}\) (2 góc tương ứng)

d.XÉt tam giác AHE và AKD có:
AH=AK
AE=AD(AB=AC,BD=CE => AB+BD=AC+CE=> AE=AD)
góc HAE=KAD(do góc HAB=KAC
=> HAB+ABC=KAC+ABC
=> HAE=>KAD)
=>tam giác AHE=AKD(c-g-c)
e.HE=DK
=> HDEK là hình chữ nhật mà I là giao 2 đường chéo
=> ID=IE
Xét tam giác ADI và AEI có AD=AE , AI chung , ID=IE
=> tam giác ADI=AEI
=> góc DAI=EAI
=> AI là phân giác góc DAE ( Mà tam giác DAE cân ở A có AI phân giác )
=> AI cũng là đường cao
=> AI vuông góc DE

 

+ TH1: Xét ΔABC vuông tại A có các đường cao AD, BA, CA.

BA, CA là hai đường cao xuất phát từ hai góc nhọn B và C của ΔABC.

AB = AC ⇒ ΔABC cân tại A (đpcm).

+ TH2: Xét ΔABC không có góc nào vuông, hai đường cao BD = CE (như hình vẽ minh họa)

Xét hai tam giác vuông EBC và DCB có :

BC (cạnh chung)

CE = BD (giả thiết)

⇒ ∆EBC = ∆DCB (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

+ Xét ΔABC ba đường cao BD = CE = AF (như hình vẽ minh họa)

CE = BD ⇒ ΔABC cân tại A (như cmt) ⇒ AB = AC.

CE = AF ⇒ ΔABC cân tại B (như cmt) ⇒ AB = BC:

⇒ AB = AC = BC

⇒ ΔABC đều.