a) Xét $\Delta DEF$ và $\Delta KED$ có:

$\widehat {EDF}=\widehat{EKD}=90^o$

$\widehat E$ chung

$\Rightarrow\Delta DEF\sim\Delta KED$ (g.g)

b) +) Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta DEF\bot D$ có:

$EF^2=DE^2+DF^2=400\Rightarrow EF=20$cm

+) $S_{DEF}=\dfrac{DE.DF}{2}=\dfrac{DK.EF}2$

$\Rightarrow DK={DE.DF}{EF}=9,6$cm

+) Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta EDK\bot K$ có:

$DE^2=KE^2+KD^2$

$\Rightarrow KE^2=DE^2-KD^2=12^2-9,6^2\Rightarrow KE=7,2$cm

$\Rightarrow KF=EF-KE=12,8$cm

c) Xét $\Delta DEF $ và $\Delta KDF$ có:

$\widehat{EDF}=\widehat{DKF}=90^o$

$\widehat{F}$ chung

$\Rightarrow\Delta DEF\sim\Delta KDF$ (g.g)

$\Rightarrow\dfrac{DE}{DF}=\dfrac{KD}{KF}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow DE.KF=DF.KD$

d) Do $EA, EB $ là phân giác $\widehat E$ của $\Delta EDK$ và $\Delta EDF$ nên ta có:

$\dfrac{AK}{AD}=\dfrac{EK}{ED}$ (tính chất đường phân giác) (1)

$\dfrac{BD}{BF}=\dfrac{ED}{EF}$ (tính chất đường phân giác) (2)

mà $\Delta DEF\sim\Delta KED$ (chứng minh câu a)

$\Rightarrow\dfrac{ED}{EK}=\dfrac{EF}{ED}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay $\dfrac{ED}{EF}=\dfrac{EK}{ED}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) $\Rightarrow$

$\dfrac{AK}{AD}=\dfrac{BD}{BF}$.