Đáp án:

a) $MD=3cm, DP=5cm$

b) $\dfrac{IK}{IM}=\dfrac{MD}{DP}$

c) $MN.NI=ND.KN$, $\triangle MID$ cân tại M

Giải thích các bước giải:

a)

$\triangle MNP$ vuông tại M:

$MN^2+MP^2=NP^2$ (định lý Pytago)

$\to NP=\sqrt{MN^2+MP^2}=\sqrtP6^2+8^2}=10(cm)$

$\triangle MNP$ có đường phân giác MD (gt)

$\to\dfrac{DM}{DP}=\dfrac{NM}{NP}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}\\\to DM=\dfrac{3}{5}DP$

Ta có:

$DM+DP=MP=8(cm)\\\to\dfrac{3}{5}DP+DP=8\\\to 8DP=40\\\to DP=5(cm)\to DM=\dfrac{3}{5}.5=3(cm)$

b)

$\triangle MKN$ có đường phân giác NI (gt)

$\to\dfrac{IK}{IM}=\dfrac{NK}{NM}$

Xét $\triangle MKN$ và $\triangle PMN$:

$\widehat{MKN}=\widehat{PMN}\,\,\,(=90^o)$

$\widehat{MNP}$: chung

$\to\triangle MKN\backsim\triangle PMN$ (g.g)

$\to\dfrac{NK}{NM}=\dfrac{NM}{NP}$

Ta có: $\dfrac{DM}{DP}=\dfrac{NM}{NP}, \dfrac{IK}{IM}=\dfrac{NK}{NM}$

$\to\dfrac{IK}{IM}=\dfrac{DM}{DP}$

c)

Xét $\triangle MND$ và $\triangle KNI$:

$\widehat{DMN}=\widehat{IKN}\,\,\,(=90^o)$

$\widehat{MND}=\widehat{KNI}$ (gt)

$\to\triangle MND\backsim\triangle KNI$ (g.g)

$\to\dfrac{MN}{ND}=\dfrac{KN}{NI}\\\to MN.NI=ND.KN$

$\to\widehat{MDN}=\widehat{KIN}$

Mà $\widehat{KIN}=\widehat{MID}$ (đối đỉnh)

$\to\widehat{MDN}=\widehat{MID}$

Hay $\widehat{MDI}=\widehat{MID}$

$\to\triangle MID$ cân tại M