a) có DN = $\frac{1}{2}$ DF

và DM = $\frac{1}{2}$ DE

mà tam giác DEF cân tại D

⇒ DE = DF

⇒ DN = DM

Xét Δ DNE và Δ DMF có:

DE = DF

góc D chung

DN =DM

⇒ Δ DNE = Δ DMF (cạnh góc cạnh)

⇒ EN = FM

b) có∠ EMF + ∠ FMD = ∠ FNE + ∠END = 180$^{o}$

mà ∠ FMD = ∠ END (do Δ DNE = Δ DMF)

Xét Δ EMF và Δ FNE có:

∠FMD = ∠ END

EM = NF

∠ MEF = ∠ NFE (do Δ DEF cân tại D)

⇒ Δ EMF = Δ FNE (góc cạnh góc)

⇒ ∠ KFE = ∠ KEF 

⇒ tam giác cân tại K

c)

ta có:

∠ DEK + ∠ KEF = ∠ DEF

mà ∠ DEF = ∠ DFE và ∠ KEF = ∠ KFE

⇒ ∠ DEK = ∠ DFK

xét ΔDKE và ΔDKF có:

DE = DF (ΔDEF cân tại D)

∠ DEK = ∠DFK

KE = KF (ΔKEF cân tại K)

⇒ ΔDKE = ΔDKF (cạnh góc cạnh)

⇒ góc EDK = góc FDK

⇒ DK là phân giác của góc EDF

Đáp án:

 a) EN=FM

b) ΔKEF cân

c) DK là phân giác của $\widehat{EDF}$

Giải thích các bước giải:

a) $\Delta DEF$ cân tại D (gt)
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
DE=DF (định nghĩa) (1)\\ 
\widehat{DEF}=\widehat{DFE} (tính chất)
\end{matrix}\right.$
Lại có: 
$\left\{\begin{matrix}
M là trung điểm của DE\Rightarrow MD=ME=\frac{DE}{2}(2)\\ 
N là trung điểm của FD\Rightarrow DN=NF=\frac{DF}{2}(3)
\end{matrix}\right.$
Từ (1), (2) và (3)$\Rightarrow DM=ME=DN=NF$
Xét $\Delta DEN$ và $\Delta DFM$ có:
DE=DF
$\widehat{D}$ chung
DN=DM
$\Rightarrow \Delta DEN=\Delta DFM$ (c.g.c) (*)
$\Rightarrow EN=FM$ (hai cạnh tương ứng)
b) Từ (*)$\Rightarrow \widehat{DEN}=\widehat{DFM}$ (hai góc tương ứng)
mà $\widehat{DEF}=\widehat{DFE}$
$\Rightarrow \widehat{DEF}-\widehat{DEN}=\widehat{DFE}-\widehat{DFM}$
$\Leftrightarrow \widehat{NEF}=\widehat{NFE}\Leftrightarrow \widehat{KEF}=\widehat{KFE}$
$\Rightarrow \Delta KEF$ cân tại K (**)
c) Từ (**)$\Rightarrow KE=KF$ (định nghĩa)
Xét $\Delta DEK$ và $\Delta DFK$ có:
DE=DF
DK chung
KE=KF
$\Rightarrow \Delta DEK=\Delta DFK$ (c.c.c)
$\Rightarrow \widehat{EDK}=\widehat{FDK}$ (hai góc tương ứng)
$\Rightarrow DK$ là phân giác của $\widehat{EDF}$