a)

$G$ là trọng tâm $\Delta ABC$

$BG$ cắt $AC$ tại $M$

Nên $M$ là trung điểm $AC$

Do đó $\dfrac{BG}{BM}=\dfrac{2}{3}$

Kẻ $CH\bot BM$ tại $H$

Ta có:

+ ${{S}_{\Delta GBC}}=\dfrac{1}{2}CH.BG$

+ ${{S}_{\Delta MBC}}=\dfrac{1}{2}CH.BM$

$\Rightarrow \dfrac{{{S}_{\Delta GBC}}}{{{S}_{\Delta MBC}}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}CH.BG}{\dfrac{1}{2}CH.BM}=\dfrac{BG}{BM}=\dfrac{2}{3}$

$\Rightarrow {{S}_{\Delta GBC}}=\dfrac{2}{3}{{S}_{\Delta MBC}}$

 

b)

Do $M$ là trung điểm cạnh $AC$

Nên ${{S}_{\Delta MBC}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{\Delta ABC}}$

Mà ${{S}_{\Delta GBC}}=\dfrac{2}{3}{{S}_{\Delta MBC}}$ (chứng minh trên)

Do đó ${{S}_{\Delta GBC}}=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{2}{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}$

Chứng minh hoàn toàn tương tự:

Ta được ${{S}_{\Delta GAC}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}$   và   ${{S}_{\Delta GAB}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}$

Như vậy ${{S}_{\Delta GBC}}={{S}_{\Delta GAC}}={{S}_{\Delta GAB}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}$