a/Xét ΔAHB và ΔCAB có :

$\widehat{AHB}=\widehat{BAC}=90^o$

$\widehat{B} : chung$

$⇒ΔAHB\sim ΔCAB (g.g)$

$b/ΔAHB\sim ΔCAB$ (theo a)

$⇒\dfrac{AB}{CB}=\dfrac{HB}{AB}$

$⇒AB^2=BC.BH(đpcm)$

 

Gọi I là giao điểm của EM và BC.

Lấy D thuộc AC sao cho AD =$\frac{1}{3}$ .AH=HE

Xét ∆AHC có :

$\frac{AD}{AH}$ = $\frac{AM}{HC}$ (vì cùng bằng $\frac{1}{3}$)

=>DM//BC và $\frac{DM}{HC}$ =$\frac{AD}{AH}$ =$\frac{1}{3}$ (đ/lí Talets đảo)

=>DM//BC và DM=$\frac{1}{3}$ .HC (1)

xét ∆DEM có DM//HI 

=>$\frac{HE}{DE}$=$\frac{HI}{DM}$=$\frac{1}{3}$ (do DE=3.HE)(định lí talets)

 => HI =$\frac{1}{3}$.DM(2)

Từ (1) và(2) => HI =$\frac{HC}{9}$ 

có $AH^{2}$ =BH.HC (cm ý a)

<=>$(\frac{AH}{3} )^{2}$ =BH.$\frac{CH}{9}$ 

((do $\frac{AH}{3}$=HE và HI=$\frac{CH}{9}$(cmt) ) <=> $HE^{2}$ = BH.HI 

=>$\frac{HE}{HI}$ =$\frac{BH}{HE}$ 

Xét ∆ BHE và ∆ EHI ,có

∡BHE=∡IHE(=90)

$\frac{HE}{HI}$ =$\frac{BH}{HE}$ 

=> ∆ BHE đồng dạng với ∆ EHI (c.g.c)

=>∡BEH =∡EIH(3)

mà ∡ HEI + ∡HIE =90(do ∆HEI ┴ tại H)(4)

Từ (3) và (4) => ∡BEH + ∡HEI =90

<=>∡BEI =90

=> BE ┴ EM (đpcm)