Giải thích các bước giải:

1.Vì $MA,MB$ là tiếp tuyến của (O)

$\to MA\perp OA, MB\perp OB$

$\to M,A,O,B\in$ đường tròn đường kính MO

$\to MAOB$ nội tiếp

2.Vì $MA$ là tiếp tuyến của (O)

$\to \widehat{MAC}=\widehat{MDA}$

$\to \Delta MAC\sim\Delta MDA(g.g)$

$\to \dfrac{MA}{MD}=\dfrac{MC}{MA}$

$\to MA^2=MC.MD$

Mặt khác $\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{MA}{MD}$

Chứng minh tương tự $\to \dfrac{BC}{BD}=\dfrac{MB}{MD}$

Mà $MA,MB$ là tiếp tuyến của (O) tại $M$

$\to MA=MB$

$\to \dfrac{MA}{MD}=\dfrac{MB}{MD}$

$\to \dfrac{AC}{AD}=\dfrac{BC}{BD}$

$\to AC.BD=BC.AD$

3.Ta có $MA,MB$ là tiếp tuyến của (O)
$\to MO$ là phân giác $\widehat{AMB}$

Mà $MO\perp NK\to O$ là trung điểm $NK$

$\to S_{MNK}=2S_{MON}=2\cdot\dfrac12\cdot ON\cdot OM=ON\cdot OM$

Do $MO\perp NK\to MO\perp ON, OA\perp MA\to OA\perp MN$

$\to \dfrac{1}{OM^2}+\dfrac{1}{ON^2}=\dfrac{1}{OA^2}\ge \dfrac{2}{OM.ON}$

$\to OM.ON\ge 2OA^2=2R^2$

$\to S_{MNK}\ge 2R^2$

Dấu = xảy ra khi $OM=ON\to \Delta MON$ vuông cân tại $O$

$\to \widehat{AMO}=45^o$

$\to \Delta MAO$ vuông cân tại $A$

$\to MO=OA\sqrt2=R\sqrt2$