c)

Từ câu b, ta có được 5 điểm $A,M,O,I,N$ cùng thuộc một đường tròn

Từ đó có được $AMIN$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{ANM}=\widehat{AIM}$ (cùng chắn cung $AM$)

Mà $\widehat{ANM}=\widehat{AMD}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Nên $\widehat{AMD}=\widehat{AIM}$

Xét $\Delta AMD$ và $\Delta AIM$, ta có:

+  $\widehat{MAD}$ là góc chung

+  $\widehat{AMD}=\widehat{AIM}\left( cmt \right)$

Nên $\Delta AMD\backsim\Delta AIM\left( g.g \right)$

Do đó $\dfrac{AM}{AI}=\dfrac{AD}{AM}$

$\Rightarrow A{{M}^{2}}=AD.AI$

Mà $A{{M}^{2}}=AB.AC$ (chứng minh câu a)

$\Rightarrow AD.AI=AB.AC$

$\Rightarrow AD=\dfrac{AB.AC}{AI}$

 

Giả thiết  3 điểm $A,B,C$ cố định

Có $I$ trung điểm $BC$

Nên 4 điểm $A,B,I,C$ cố định

Do đó độ dài $AB,AC,AI$ không thay đổi

$\Rightarrow \dfrac{AB.AC}{AI}$ có độ dài không thay đổi

$\Rightarrow AD$ có độ dài không thay đổi

Độ dài $AD$ không đổi và $D$ thuộc đường thẳng $BC$ cố định

Nên điểm $D$ cố định

 

Gọi $G$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ODI$

Thì $GD=GI$

Mà trong đó hai điểm $D,I$ cố định

Do đó $G$ thuộc đường trung trực của $DI$ cố định