Ta có

$x^2 + y^2 \geq 2xy$ với mọi $x,y$

$x^2 + 1 \geq 2x$ với mọi $x$

$y^2 + 1 \geq 2y$ với mọi $y$.

Cộng vế với vế ta có

$2x^2 + 2y^2 +2 \geq 2xy + 2x + 2y$ với mọi $x,y$

$<-> x^2 + y^2 + 2 \geq xy + x + y$

Suy ra

$x^2 + y^2 + 2 + 1 > xy + x + y$

$<-> x^2 + y^2 + 3 > xy + x + y$.

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

`x^2 + y^2 + 3 > xy + x + y `

`<=>2(x^2 + y^2 + 3) >2( xy + x + y )`

`<=>2x^2 +2 y^2 + 6 >2 xy + 2x + 2y `

`<=>2x^2 +2 y^2 + 6 -2 xy - 2x - 2y >0`

`<=>(x^2-2xy+y^2)+(x^2-2x+1)+(y^2-2y+1)+4>0`

`<=>(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2+4>0`

Vì `(x-y)^2;(x-1)^2;(y-1)^2>=0∀x;y`

`=>(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2>=0∀x;y`

`=>(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2+4>=4>0∀x;y`

`=>(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2+4>0∀x;y` (luôn đúng)