a)

Tứ $AOMC$ có $\widehat{CAO}=\widehat{CMO}=90{}^\circ $

$\Rightarrow \widehat{CAO}+\widehat{CMO}=180{}^\circ $

$\Rightarrow AOMC$ nội tiếp

Tứ giác $BOMD$ có $\widehat{DBO}=\widehat{DMO}=90{}^\circ $

$\Rightarrow \widehat{DBO}+\widehat{DMO}=180{}^\circ $

$\Rightarrow BOMD$ nội tiếp

 

b)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

+  $OC$ là tia phân giác $\widehat{MOA}$

+  $OD$ là tia phân giác $\widehat{MOB}$

Mà $\widehat{MOA}$ và $\widehat{MOB}$ là hai góc kề bù

Nên $OC\bot OD$

Do đó $\widehat{COD}=90{}^\circ $

 

c)

Xét $\Delta ACO$ và $\Delta BOD$, ta có:

+  $\widehat{CAO}=\widehat{OBD}=90{}^\circ $

+  $\widehat{ACO}=\widehat{BOD}$ (cùng phụ $\widehat{AOC}$)

Nên $\Delta ACO\backsim\Delta BOD\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \dfrac{AC}{BO}=\dfrac{AO}{BD}$

$\Rightarrow AC.BD=AO.BO$

$\Rightarrow AC.BD=\dfrac{AB}{2}\cdot \dfrac{AB}{2}=\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}$

 

d)

Ta có:

+  $CM=CA$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

+  $OM=OA=R$

Nên $OC$ là đường trung trực của $MA$

Do đó $OC\bot MA$

Mà $MA\bot BM$ (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)

Vậy $OC//BM$

 

e)

Tứ giác $OQMK$ có $\widehat{KMQ}=\widehat{KOQ}=90{}^\circ $

$\Rightarrow \widehat{KMQ}+\widehat{KOQ}=180{}^\circ $

$\Rightarrow OQMK$ nội tiếp