Giải thích các bước giải:

a,

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Suy ra O là trung điểm của AC và BD.

Gọi O' là giao điểm của A'C' và B'D'. Suy ra O' là trung điểm của A'C' và B'D'.

\({G_1}\) là trọng tâm của tam giác A'BD nên A', \({G_1}\), O thẳng hàng, đồng thời \(\frac{{A'{G_1}}}{{A'O}} = \frac{2}{3}\)

Xét hai tam giác \(A'{G_1}C'\) và \(O{G_1}A\) có:

\(\begin{array}{l}
\frac{{A'{G_1}}}{{{G_1}O}} = \frac{{A'C'}}{{AO}} = 2\\
\widehat {{G_1}A'C'} = \widehat {{G_1}OA}\,\,\,\,\,\,\,\left( {A'C'//AO} \right)
\end{array}\)

Suy ra  \(ΔA'{G_1}C' \sim ΔO{G_1}A\)  (c.g.c)

Do đó, \(\widehat {A{G_1}O} = \widehat {A'{G_1}C'}\) (2 góc tương ứng) hay \(A,\,\,{G_1},\,\,C'\) thẳng hàng,

Và \(\frac{{A{G_1}}}{{{G_1}C'}} = \frac{{AO}}{{A'C'}} = \frac{1}{2} \Rightarrow A{G_1} = \frac{1}{3}AC'\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(ΔC'O'{G_2} \sim ΔAC{G_2}\)   (c.g.c)

Suy ra \(A,{G_2},C'\) thẳng hàng và \(\frac{{{G_2}C'}}{{A{G_2}}} = \frac{{O'C'}}{{AC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow {G_2}C' = \frac{1}{3}AC'\)

Vậy AC' đi qua 2 điểm \({G_1},{G_2}\) và \(A{G_1} = {G_1}{G_2} = {G_2}C' = \frac{1}{3}AC'\)

b,

Trong mp (ACC'A'), gọi \(I = A'{G_2} \cap CC'\)

Ta có \(B',\,\,{G_2},\,\,D\) thẳng hàng

Suy ra thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp \(\left( {A'B'{G_2}} \right)\) là tứ giác \(A'B'ID\)