Đáp án: $a)$ $\text{CM dưới}$

$b)$ `hat((SC; ABCD))~~27^o;`

`hat((SC; SAD))~~ 63^o`

$c)$ `d(C; SDB) = (2sqrt(3))/(7a)`

Giải thích các bước giải:

$\text{ a) Vì ABCD là hình chữ nhật; => DC ⊥ AD (1) }$

$\text{ +) Theo bài ra SA ⊥ (ABCD); Mà DC ∈ (ABCD) }$

$\text{ => SA ⊥ DC (2)}$

$\text{ Từ (1) và (2) => DC ⊥ (SAD)}$

$\text{ Mà SD ∈ (SAD); => DC ⊥ SD; => Tam giác SDC vuông tại D (đpcm)}$

.

$\text{ b) Do SA ⊥ (ABCD) nên A là hình chiếu của S xuống (ABCD)}$

$=>$ `hat((SC; ABCD))=hat(SCA)`

$\text{ Xét tam giác ABC vuông tại B:}$

$\text{ Theo định lý pitago ta có:}$

`AC^2=AB^2+BC^2`

$=>$ `BC=sqrt(AC^2-AB^2)=sqrt((2a)^2-a^2)=sqrt(3a^2)=asqrt(3)`

$=>$ `AD=BC=asqrt(3)`

$\text{ Xét tam giác SAC vuông tại A ta có:}$

`tan hat(SCA) = (SA)/(AC) = a/(2a)=1/2`

$=>$ `hat(SCA) = arc tan (1/2) ~~27^o`

$Hay$ `hat((SC; ABCD))~~27^o`

.

$\text{ Xét tam giác SAD vuông tại A ta có:}$

`SD^2=SA^2+AD^2;`

$=>$ `SD=sqrt(SA^2+AD^2)=sqrt(a^2+(asqrt(3))^2)`

$<=>$ `SD=sqrt(a^2+3a^2)=sqrt(4a^2)=2a`

$\text{ Do CD ⊥ (SAD) (cm ở câu a)}$

$\text{ => D là hình chiếu của C xuống (SAD)}$

$=>$ `hat((SC; SAD))=hat(SCD)`

$\text{ Xét tam giác SDC vuông tại D:}$

`tan hat(SCD) = (SD)/(DC) = (2a)/a=2`

$=>$ `hat(SCD) = arc tan 2 ~~ 63^o`

$Hay$ `hat((SC; SAD))~~ 63^o`

.

$\text{ c) Ta có Diện tích hình chữ nhật hay diện tích đáy của S.ABCD là:}$ `asqrt(3).a=a^2sqrt(3)`

$\text{ Ta có thể tích S.ABCD là:}$ `1/3. SA . S_(ABCD) = 1/3. a . a^2sqrt(3) = (a^3sqrt(3))/3`

$\text{ Ta có diện tích tam giác ABD và DCB là:}$

`S_(ABD)=S_(DCB)= S_(ABCD)/2 = (a^2sqrt(3))/ 2 `

$\text{ Ta có thể tích S.ABD là:}$ `1/3. SA . S_(ABD) =1/3. a . a^2sqrt(3)/ 2 = (a^3sqrt(3))/ 6`

$Do$ `V_(S.ABCD)=V_(S.ABD)+V_(S.BCD)`

$=>$ `V_(S.BCD) = V_(S.ABCD) - V_(S.ABD) = (a^3sqrt(3))/3 - (a^3sqrt(3))/ 6=(a^3sqrt(3))/ 6`

$\text{ Xét tam giác SAB vuông tại A theo định lý pitago ta có:}$

`SA^2+AB^2=SB^2`

$=>$ `SB=sqrt(SA^2+AB^2)=sqrt(a^2+a^2)=sqrt(2a^2)=asqrt(2)`

$\text{ Do ABCD là hình chữ nhật nên 2 đường chéo bằng nhau}$

$\text{ hay BD=AC=2a}$

$\text{ Ta có nửa chu vi SBD là:}$ `(asqrt(2)+2a+2a)/2=(asqrt(2)+4a)/2`

$\text{ Ta có diện tích tam giác SBD là:}$

`(asqrt(2)+4a)/2.((asqrt(2)+4a)/2-2a).((asqrt(2)+4a)/2-2a).((asqrt(2)+4a)/2-asqrt(2))`

`=(asqrt(2)+4a)/2.((asqrt(2)+4a)/2-2a)^2.((asqrt(2)+4a-2asqrt(2))/2)`

`=(asqrt(2)+4a)/2.((2a^2+8a^2sqrt(2)+16a^2)/4-(2a^2sqrt(2)+8a^2)+4a^2).((-asqrt(2)+4a)/2)`

`=((16a^2-2a^2))/4.((2a^2+8a^2sqrt(2)+16a^2)/4-(8a^2sqrt(2)+16a^2)/4)`

`=(7a^2)/2.(2a^2)/4=(14a^4)/8`

$Ta$ $có :$ `V_(S.DCB)= 1/3.S_(SDB).d(C; SDB)`

$<=>$ `(a^3sqrt(3))/ 6 = 1/3 . (14a^4)/8 . d(C; SDB)`

$<=>$ `d(C; SDB) = 3 . (a^3sqrt(3))/ 6 : (14a^4)/8=(2sqrt(3))/(7a)`