a)     ΔABC vuông tại A 

⇒ $BC^2$ = $AC^2$ + $AB^2$

⇒ $BC^2$ = $4^2$ + $3^2$

⇒ $BC^2$ = 25

          ⇒ BC = $\sqrt{25}$ = 5 

     Vậy BC = 5cm

b) Xét $\triangle$ABC và $\triangle$ANM ta có :

             AC = AM (gt)

            $\widehat{BAC}$ = $\widehat{MAN}$ (2 góc đối đỉnh)

            AB = AN (gt)

⇒ $\triangle$ABC = $\triangle$ANM (c-g-c)

   AB = AN (gt) ⇒ $\triangle$ANB cân tại A

⇒ $\widehat{BNA}$ = $\dfrac{180^2 - $\widehat{A}$}{2}$   (1)

   AC = AM (gt) ⇒ ΔAMC cân tại A

⇒ $\widehat{ACM}$ = $\dfrac{180^2 - $\widehat{A}$}{2}$   (2)

      Từ (1) và (2) ⇒ $\widehat{BNA}$ = $\widehat{CMA}$ 

  ⇒ NB $\parallel$ MC (vì có 2 góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

c) NB $\parallel$ MC(cmt) ⇒ $\widehat{NBA}$ = $\widehat{ANC}$ (quan hệ từ ⊥→║)

$\triangle$ABC = $\triangle$ANM (cmt) ⇒ $\widehat{BCA}$ = $\widehat{AMN}$ (2 góc tương ứng)

$\widehat{NMI}$ = $\widehat{AMN}$ + $\widehat{AMC}$

$\widehat{BCI}$ = $\widehat{BCA}$ + $\widehat{ACI}$

              ⇒ $\widehat{NMI}$ = $\widehat{BCI}$ 

Xét $\triangle$BCI và $\triangle$NMI có :

        BC = NM (cmt)

        $\widehat{NMI}$ = $\widehat{BCI}$ (cmt)

        IM = IC (gt)

⇒ $\triangle$BCI = $\triangle$NMI (c-g-c)

            ⇒ BI = IN (2 cạnh tương ứng)

                        ⇒ $\triangle$NBI cân tại I

 

Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\to BC^2=AB^2+AC^2=25$

$\to BC=5$

b.Xét $\Delta AMN,\Delta ABC$ có:

$AN=AB$

$\widehat{NAM}=\widehat{BAC}$

$AM=AC$

$\to\Delta AMN=\Delta ACB(c.g.c)$

$\to MN=BC$

Vì $AM=AC, AN=AB\to\Delta ACM,\Delta ABN$ cân tại $A$

$\to \widehat{ABN}=90^o-\dfrac12\widehat{NAB}=90^o-\dfrac12\widehat{MAC}=\widehat{AMC}$

$\to BN//CM$

c.Ta có: $\Delta AMC$ cân tại $A, I$ là trung điểm $CM\to AI\perp CM$

Mà $BN//CM$

$\to AI\perp NB$

Do $\Delta ANB$ cân tại $A$

$\to \Delta ANB$ có đường cao đồng thời là trung trực

Vì $AI\perp NB$

$\to AI$ đồng thời là trung trực $BN$

$\to IN=IB$

$\to \Delta INB$ cân tại $I$