$a)$

Áp dụng định lý $Pythagoras$ trong tam giác vuông $ABC$ ta có:

$BC^2=AB^2+AC^2\Leftrightarrow AC^2=BC^2-AB^2\Leftrightarrow AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=4$

$b)$

Xét $\Delta BAE$ và $\Delta BDE$ ta có:

$BH$ chung $($ cạnh huyền$)$

$BA=BD$ $($ cạnh góc vuông$)$

Do đó $\Delta BAE = \Delta BDE$

$\Rightarrow \widehat{ABE}=\widehat{DBE}$ hay $BE$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$

$c)$

Đồng thời từ $\Delta BAE =  \Delta BDE$ ta được: $AE=DE$

Xét $\Delta EDC$ vuông góc tại $D$ nên $EC$ là cạnh huyền của tam giác này

Từ đó ta suy ra: $EC>ED$ hay $EC>AE$ 

$d)$ 

Từ giả thiết ta có: $AB=DB$ nên $\Delta ABD$ là tam giác cân

Mà đồng thời $BE$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}(cmt)$ nên $BE$ là đường trung trực của tam giác $BAD$

Do đó $BE$ là đường trung trực của đoạn $AD$