Theo hệ quả của định lý Ta-let, ta có 2 ý như sau:

+  $\dfrac{ME}{CD}=\dfrac{AE}{AC}$

+  $\dfrac{NE}{AB}=\dfrac{CE}{AC}$

$\Rightarrow \dfrac{ME}{CD}\cdot \dfrac{NE}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\cdot \dfrac{CE}{AC}$

$\Rightarrow ME.NE=\dfrac{CD.AB}{A{{C}^{2}}}.\left( AE.CE \right)$

 

Áp dụng bất đẳng thức $a.b\le \dfrac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{4}$ với $a=AE,b=CE$

Ta có $AE.CE\le \dfrac{{{\left( AE+CE \right)}^{2}}}{4}$

$\Rightarrow AE.CE\le \dfrac{A{{C}^{2}}}{4}$

$\Rightarrow \dfrac{CD.AB}{A{{C}^{2}}}\cdot \left( AE.CE \right)\le \dfrac{CD.AB}{4}$

$\Rightarrow ME.NE\le \dfrac{CD.AB}{4}$ (const)

Vậy giá trị lớn nhất của tích $ME.NE$ bằng $\dfrac{CD.AB}{4}$

Dấu “=” xảy ra khi $AE=CE$

$\Leftrightarrow E$ là trung điểm $AC$

$\Leftrightarrow M,N$ lần lượt là trung điểm $AD,BC$

Vậy đường thẳng $d//AB//CD$ sao cho $d$ đi qua trung điểm $AD,BC,AC$ thì tích $ME.NE$ đạt giá trị lớn nhất là $\dfrac{CD.AB}{4}$