Xét tứ giác $BDME$ ta có:

$\widehat{BEM}+\widehat{MDB}=90^o+90^o=180^o$

$(AM\perp BD;ME\perp AE)$

Do đó $BDME$ là tứ giác nội tiếp 

$\Rightarrow \widehat{BED}=\widehat{BMD}$

(Hai góc cùng chắn cung BD)

$\Rightarrow \widehat{AME}=\widehat{ABD}(1)$

(góc ngoài tại một đỉnh bằng với góc trong tại đỉnh đối của nó)

Xét tứ giác $AEMF$ ta có

$\widehat{AEM}+\widehat{AFM}=90^o+90^o=180^o$

$(AF \perp MF)$

$\Rightarrow \widehat{BEF}=\widehat{AMF}$

(Hai góc cùng chắn cung AF) 

$\Rightarrow \widehat{AFE}=\widehat{AME}(2)$

(Hai góc cùng chắn cung AE)

Gọi $G$ là giao điểm của $DC$ và $FM$

Xét $\Delta CFG$ và $\Delta MDG$ ta có:

$\widehat{G_1}=\widehat{G_2}$ (Hai góc đối đỉnh)

$\widehat{MDG}=\widehat{BFG}=90^o$

Do đó $\Delta CFG\sim \Delta MDG$

$\Rightarrow \widehat{DMF}=\widehat{BCA}$

(Hai góc tương ứng)

Lại có tứ giác $ACMB$ nội tiếp nên:

$\widehat{AMB}=\widehat{ACB}$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta suy ra 

$\widehat{ABD}=\widehat{AFE}$

$\Rightarrow \widehat{EBD}=\widehat{CFD}$

(Các cặp góc bù nhau)

Xét $\Delta EBD$ và $\Delta CFD$ ta có:

$\widehat{EDB}=\widehat{CFD}$

$\widehat{BED}=\widehat{DCF}$

Do đó $\Delta EBD \sim \Delta CFD$

$\Rightarrow \widehat{EDB}=\widehat{FDC}$

Mà hai góc này ở vị trí đối đỉnh do đó $E,D,F$ thẳng hàng

Bài toán đã được chứng minh.