Xét phương trình, ta có :

` +)  a  =  2 `

` +)  b  =  -6 `

` +)  c  =  3m  +  1  `

` ⇒  Δ  =  b²  -  4ac  `

` ⇒  Δ  =  (  -6  )²  -  4  .  2  .  (  3m  +  1  )  `

` ⇒  Δ  =  36  -  8  .  (  3m  +  1  )  `

` ⇒  Δ  =  36  -  24m  -  8  `

` ⇒  Δ  =  28  -  24m  `

Để phương trình có hai nghiệm thì :

` Δ  >  0  ⇒  28  -  24m  ≥  0  ⇒  24m  ≤ 28  ⇒  m  ≤ 7/6  `

Áp dụng định lý Vi-ét, ta có :

+) ` x_1  +  x_2  =  [ -b ] / a  =  [ - ( -6 )  ] / 2  =  3 `

+) ` x_1  .  x_2  =  c / a  =  [ 3m  +  1 ] / 2 `

Theo để bài, ta có :

` x_1³  +  x_2³  =  9 `

` ⇔  x_1³  +  x_2³  +  3x_1²x_2  +  3x_1x_2²  -  3x_1²x_2  -  3x_1x_2²  =  9  `

` ⇔  (  x_1³  +  x_2³  +  3x_1²x_2  +  3x_1x_2²  )  -  (  3x_1²x_2  +  3x_1x_2²  )  =  9  `

` ⇔  (  x_1  +  x_2  )³  -  3x_1x_2  .  (  x_1  +  x_2  )  =  9  `

` ⇔  3³  -  3  .  [ 3m  +  1 ] / 2  .  3  =  9  `

` ⇔  27  -  9 . [ 3m  +  1 ] / 2  =  9  `

` ⇔  27  -  [ 27m  +  9 ] / 2  =  9  `

` ⇔  [ 27m  +  9 ] / 2  =  27  -  9  `

` ⇔  [ 27m  +  9 ] / 2  =  18  `

` ⇔  27m  +  9  =  36  `

` ⇔  27m  =  36  -  9  `

` ⇔  27m  =  27  `

` ⇔  m  =  1  ` ( thỏa mãn )

Vậy ` m = 1 ` thì phương trình có ` 2 ` nghiệm ` x_1³  +  x_2³  =  9 `

Đáp án:

`m=1`

Giải thích các bước giải:

`2x^2 -6x+3m+1=0`   `(1)`

+ Phương trình `(1)` có 2 nghiệm `x_1 ;x_2`

`<=>Δ'` $\geqslant$ `0`

`=>(-3)^2 -2.(3m+1)` $\geqslant$ `0`

`<=>9-6m-2` $\geqslant$ `0`

`<=>-6m` $\geqslant$ `-7`

`<=>m` $\leqslant$ `7/6`

+ Theo Viét ta có: $\begin{cases}x_1 +x_2 =3(2)\\x_1 x_2 =\dfrac{3m+1}{2}(3)\end{cases}$

+ Xét hệ thức: `x_1^3 +x_2^3 =9`

`<=>(x_1 +x_2)^3 -3x_1 x_2 (x_1 +x_2)=9` $(*)$

+ Thay `(2);(3)` vào $(*)$ ta được:

`3^3 -3.(3m+1)/2 .3=9`

`<=>27-(9(3m+1))/2 =9`

`<=>(27.2)/2 -(27m+9)/2 =(9.2)/2`

`=>54-27m-9=18`

`<=>-27m=18-45`

`<=>-27m=-27`

`<=>m=1(tm)`

Vậy `m=1` là giá trị cần tìm.