Xét hai tam giác vuông ABD và HBD có

BD cạnh chung

Góc ABD = góc HBD (gt)

Do đó ,∆ABD = ∆HBD (cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ra AD = DH

Xét ∆DHC vuông tại H luôn có

DC > DH (cạnh huyền > cạnh góc vuông)

Mà AD = DH

Nên DC > DA

Xét hai tam giác vuông ADK và HDC có

AD = DH (câu a)

Góc ADK ,= góc HDC (đối đỉnh)

Do đó ∆ADK = ∆HDC (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)

Suy ra DK = DC

Hay ∆DKC cân tại D

Suy ra góc DKC = góc DCK

Xét ∆BKC có

KH là đường cao ứng với cạnh BC (DH vuông BC)

CA là đường cao ứng với cạnh BK (CA vuông AB)

BD cắt CA tại D

Suy ra D là trực tâm của ∆BKC

Suy BD là đường cao còn lại ứng với cạnh KC

Hay BD vuông KC

 

Xét Δ vuông ABD(∠A=90độ) và Δ vuông HBD(∠H=90độ) có:

       BD: cạnh chung

      ∠ABD=∠HBD

Vậy Δ vuông ABD=Δ vuông HBD(cạnh huyền-góc nhọn)

⇒AD=HD(hai cạnh tương ứng)

Xét Δ vuông ADK(∠A=90độ) và Δ vuông HDC (∠H=90độ) có:

      AD=HD(cmt)

      ∠ADK=∠HDC(đối đỉnh)

Vậy Δ vuông ADK=Δ vuông HDC(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)

⇒DK=DC(hai cạnh tương ứng)

Mà trong tam giác vuông cạnh huyền lớn nhất nên

Trong Δ vuông ADK có DC>DH

Mà Dh=DA

⇒DC>DA

b) Vì DK=DC⇒ΔKDC cân tại D

                      ⇒∠DKC=∠DCK(hai góc đáy)

c)Vì KH⊥BC⇒KH là đường cao ứng với cạnh BC

   Và CA⊥BK⇒CA là đường cao ứng với cạnh BK

Mà KH cắt CA tại D nên D là trực tâm của ΔKBC

⇒BD là đường cao ứng với cạnh KC hay BD⊥KC