a) Xét \(\Delta CBE\) có:

\(CB=CE\left(gt\right)\)

=> \(\Delta CBE\) cân tại C.

=> \(\widehat{CBE}=\widehat{CEB}\) (tính chất tam giác cân).

Vì \(CD\) là tia phân giác của \(\widehat{ACB}\left(gt\right)\)

=> \(\widehat{ACD}=\widehat{DCB}=\frac{\widehat{ACB}}{2}.\)

Hay \(\widehat{ACB}=2\widehat{ACD}=2\widehat{DCB}\) (1).

Lại có: \(\widehat{ACB}=\widehat{CBE}+\widehat{CEB}\) (vì \(\widehat{ACB}\) là góc ngoài tại đỉnh C của \(\Delta CBE\)).

=> \(\widehat{ACB}=\widehat{CBE}+\widehat{CBE}\)

=> \(\widehat{ACB}=2\widehat{CBE}\) (2).

Từ (1) và (2) => \(2\widehat{DCB}=2\widehat{CBE}.\)

=> \(\widehat{DCB}=\widehat{CBE}.\)

Mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong.

=> \(CD\) // \(EB.\)

b) Vì \(CD\) // \(EB\left(cmt\right)\)

=> \(CK\) // \(EB.\)

=> \(\widehat{CFE}=\widehat{FEB}\) (vì 2 góc so le trong).

Mà \(\widehat{CEF}=\widehat{FEB}\) (vì \(EF\) là tia phân giác của \(\widehat{CEB}\))

=> \(\widehat{CFE}=\widehat{CEF}.\)

Vì \(\Delta KCF\) vuông tại \(K\left(gt\right)\)

=> \(\widehat{KFC}+\widehat{KCF}=90^0\) (tính chất tam giác vuông) (3).

Vì \(\Delta KCE\) vuông tại \(K\left(gt\right)\)

=> \(\widehat{KEC}+\widehat{KCE}=90^0\) (tính chất tam giác vuông) (4).

Vì \(\widehat{CFE}=\widehat{CEF}\left(cmt\right)\)

=> \(\widehat{KFC}=\widehat{KEC}\) (5).

Từ (3) ; (4) và (5) => \(\widehat{KCF}=\widehat{KCE}.\)

=> \(CK\) là tia phân giác của \(\widehat{ECF}\left(đpcm\right).\)

 

a. Xét $\Delta ABE$ có:

     $\widehat{ACB}+\widehat{ECB}=180^o$ (kề bù)

hay $\widehat{ACD}+\widehat{BCD}+\widehat{ECB}=180^o$

     Mà $\widehat{ACD}=\widehat{BCD}$ (CD là phân giác của $\widehat{ACB}$)

⇒ $2\widehat{ACD}+\widehat{ECB}=180^o$

⇒ $2\widehat{ACD}=180^o-\widehat{ECB}$ (1)

Xét $\Delta CBE$ có:

     $CE=CB$ (gt)

⇒ $\Delta CBE$ cân tại C

⇒ $\widehat{CBE}=\widehat{CEB}$ (tính chất tam giác cân)

     Lại có: $\widehat{ECB}+\widehat{CBE}+\widehat{CEB}=180^o$ (tổng 3 góc trong tam giác)

⇒ $\widehat{ECB}+2\widehat{CBE}=180^o$ ($\widehat{CBE}=\widehat{CEB}$)

⇒ $2\widehat{CBE}=180^o-\widehat{ECB}$ (2)

Từ (1) và (2) ⇒ $\widehat{ACD}=\widehat{CBE}(=\dfrac{180^o-\widehat{ECB}}{2})$

     Mà hai góc $\widehat{ACD}$ và $\widehat{CBE}$ ở vị trí so le trong

⇒ CD // EB

b. Ta có: CD // EB (chứng minh ở câu a)

⇒ $\widehat{CFE}=\widehat{FEB}$ (so le trong)

     Lại có: $\widehat{CEF}=\widehat{FEB}$ (EF là phân giác)

⇒ $\widehat{CFE}=\widehat{CEF}(=\widehat{FEB})$

⇒ $\Delta CFE$ cân tại C

     Mặt khác: CK ⊥ FE = {K}

⇒ CK là đường cao

⇒ CK đồng thời là đường phân giác của $\widehat{ECF}$ (tính chất tam giác cân)