Giải thích các bước giải:

a.Vì $AB$ là tiếp tuyến của (O)

$\to\widehat{ABD}=\widehat{AEB}$

$\to\Delta ABD\sim\Delta AEB(g.g)$

$\to\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AD}{AB}$

$\to AE.AD=AB^2$ không đổi

b.Từ câu a

$\to\dfrac{BD}{BE}=\dfrac{AB}{AE}$

Chứng minh tương tự $\to \dfrac{CD}{CE}=\dfrac{AC}{AE}$

Mà $AB,AC$ là tiếp  tuyến của $(O)\to AB=AC$

$\to \dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AC}{AE}$

$\to \dfrac{BD}{BE}=\dfrac{CD}{CE}$

$\to BD.CE=BE.CD$

c.Vì $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)\to AO\perp BC=H$

Mà $AB\perp OB\to AB^2=AH.AO$

$\to AH.AO=AD.AE$

$\to\dfrac{AH}{AE}=\dfrac{AD}{AO}$

$\to\Delta ADH\sim\Delta AOE(c.g.c)$

$\to \widehat{AHD}=\widehat{AEO}$

$\to OHDE$ nội tiếp

d.Ta có $FD,FE$ là tiếp tuyến của (O)

$\to FD\perp OD,FE\perp OE$

$\to FDOE$ nội tiếp đường tròn đường kính $FO$

Mà $DHOE$ nội tiếp

$\to D,F,E,O,H\in$ đường tròn đường kính $FO$

$\to \widehat{FHO}=90^o\to FH\perp OH$

$\to FH\perp OA$

Mà $BH\perp OA$

$\to F,B,H$ thẳng hàng

$\to F,B,C$ thẳng hàng

e.Ta có $\widehat{AHD}=\widehat{AEO}=\widehat{DEO}=\widehat{EDO}=\widehat{EHO}$

$\to \widehat{DHB}=\widehat{BHE}$

Mà $\widehat{DHE}=\widehat{DOE}$

$\to\widehat{DHB}=\dfrac12\widehat{DOE}=\widehat{DCE}$

$\to 180^o-\widehat{DHB}=180^o-\widehat{DCE}$

$\to \widehat{DHC}=\widehat{DBE}$

Mà $\widehat{BED}=\widehat{DCH}$

$\to \Delta DBE\sim\Delta DHC(g.g)$

$\to\dfrac{DB}{DH}=\dfrac{BE}{HC}$

$\to \dfrac{DH}{HC}=\dfrac{BD}{BE}$

Lại có : $\widehat{BHE}=\widehat{DHB}=\widehat{DCE},\widehat{EBH}=\widehat{EDC}$

$\to \Delta EBH\sim\Delta EDC(g.g)$

$\to \dfrac{EH}{EC}==\dfrac{BH}{CD}$

$\to \dfrac{BH}{EH}=\dfrac{EC}{CD}$

Mà $\dfrac{BD}{BE}=\dfrac{EC}{CD},HB=HC$

$\to \dfrac{DH}{HC}.\dfrac{BH}{EH}=\dfrac{BD}{BE}.\dfrac{EC}{CD}$

$\to \dfrac{DH}{EH}=\dfrac{BD^2}{BE^2}$

$\to \dfrac{BD}{BE}=\sqrt{\dfrac{HD}{HE}}$