Giải thích các bước giải:

a.Ta có $AD,BE,CF$ là đường cao $\Delta ABC\to AD\perp BC, BE\perp AC, CF\perp AB$

$\to \widehat{BDH}=\widehat{HEC}=90^o,\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^o$

$\to\Diamond CDHE,\Diamond BCEF$ nội tiếp

b.Ta có $AD\cap BE=H\to H$ là trực tâm $\Delta ABC\to BH\perp AC, CH\perp AB$

Do $I$ là trung điểm $BC,HK$

$\to BHCK$ là hình bình hành

$\to KB//CH, KC//BH$

$\to CK\perp AC, KB\perp AB$

$\to ABKC$ nội tiếp đường tròn đường kính $AK$

$\to K\in$ Đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC\to K\in (O)$

Mà $AB\perp BK\to AK$ là đường kính của (O)

Vì $I$ là trung điểm $BC\to OI\perp BC$

$\to OI^2=OB^2-BI^2=R^2-(\dfrac12BC)^2=\dfrac14R^2\to OI=\dfrac12R$

Mà $I,O$ lần lượt là trung điểm $HK,AK\to OI$ là đường trung bình $\Delta AHK$

$\to AH=2OI=R$

c.Sửa đề: Lấy $S$ trên cung nhỏ $BC, SM\cap AC=J,SN\cap AB=L.$Chứng minh $H,J,L$ thẳng hàng

Ta có $\widehat{ANH}=\widehat{ANC}=\widehat{ABC}=\widehat{AEF}=\widehat{AHE}=\widehat{AHN}$

Mà $CF\perp AB=F\to AF\perp NH=F$

$\to\Delta ANH$ cân tại $A$ do $AF\perp NH$

$\to AF $ là trung trực của $NH$

$\to \widehat{AHL}=\widehat{ANL}=\widehat{ANS}$
Chứng minh tương tự $\to\widehat{AHJ}=\widehat{AMS}$

$\to \widehat{LHJ}=\widehat{JHA}+\widehat{AHJ}=\widehat{ANS}+\widehat{AMS}=180^o$

$\to J,H,L$ thẳng hàng