Đáp án+Giải thích các bước giải:

$1)\Delta ABC$ cân tại $A$

$\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{C}\\ AB=AC$

$D$ là trung điểm $BC \Rightarrow BD=CD$

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ACD$

$AB=AC\\ \widehat{B}=\widehat{C}\\ BD=CD\\ \Rightarrow \Delta ABD = \Delta ACD (c.g.c)\\ 2) \Delta ABD = \Delta ACD\\ \Rightarrow \widehat{ADB}=\widehat{ADC}$

$\widehat{ADB},\widehat{ADC}$ kề bù

$\Rightarrow \widehat{ADB}+\widehat{ADC}=180^\circ\\ \Leftrightarrow 2\widehat{ADC}=180^\circ\\ \Leftrightarrow \widehat{ADC}=90^\circ\\ \Rightarrow AD \perp BC$

$3)D$ là trung điểm $BC \Rightarrow  DC=\dfrac{BC}{2}=6(cm)$

$\Delta ADC vuông$ tại $D$

$\Rightarrow AD^2+DC^2=AC^2\\ \Rightarrow AD=\sqrt{AC^2-DC^2}=8(cm)\\ 4)\Delta ABD = \Delta ACD\\ \Rightarrow \widehat{A_1}=\widehat{A_2}$

Xét $\Delta AED$ và $\Delta AFD$

$AD:$ chung

$\widehat{E_1}=\widehat{F_1}=90^\circ\\  \widehat{A_1}=\widehat{A_2}$

$\Rightarrow \Delta AED = \Delta AFD$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow DE=DF$

$\Rightarrow \Delta  DEF$ cân tại $D.$