Đáp án:

 a) $m>\sqrt 2$ hoặc $m<-\sqrt 2$

b) $m=-3$

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $(d):y=2mx+1$ và parabol $(P):y=-2x^2$ là:

$-2x^2=2mx+1$ hay $2x^2+2mx+1=0(1)$

a) Để đường thẳng $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1;x_2$ 

$\Leftrightarrow $ Phương trình $(1)$ có hai nghiệm $x_1,x_2$ phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta '>0$

$\Leftrightarrow m^2-2.1>0$

$\Leftrightarrow m>\sqrt 2$ hoặc $m<-\sqrt 2$ 

Vậy  $m>\sqrt 2$ hoặc $m<-\sqrt 2$

b) Ta có:

Theo ĐL Viet ta có: $x_1+x_2=-m;x_1x_2=\dfrac{1}{2}$

Để $x_1^2+x_2^2+4(x_1+x_2)+4=0$

$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2+4(x_1+x_2)-2x_1x_2+4=0$

$\Leftrightarrow m^2+4m-2.\dfrac{1}{2}+4=0$

$\Leftrightarrow m^2+4m+3=0$

$\Leftrightarrow m=-1(l)$ hoặc $m=-3(c)$

Vậy  $m=-3$ thỏa mãn