Đáp án:

Câu 1:

2)  $n=1$

Câu 2:

1)  $\left( x;y \right)=\left( \pm 2;0 \right)\,\,,\,\,\left( \mp \dfrac{5\sqrt{7}}{7};\pm \dfrac{\sqrt{7}}{7} \right)\,\,,\,\,\left( \mp 1;\pm 1 \right)$

2)  $x=2+\sqrt{2}$

 

Giải thích các bước giải:

Câu 1:

2)

Gọi $d=\text{ƯCLN}\left( n+3;4{{n}^{2}}+14n+7 \right)$

$\Rightarrow\begin{cases}n+3\,\,\,\vdots\,\,\, d\\4n^2+14n+7\,\,\,\vdots\,\,\,  d\end{cases}$

$\Rightarrow\begin{cases}\left(n+3\right)\left(4n+2\right) \,\,\,\vdots\,\,\, d\\4n^2+14n+7\,\,\,\vdots\,\,\, d\end{cases}$

$\Rightarrow\begin{cases}4n^2+14n+6\,\,\,\vdots\,\,\, d\\4n^2+14n+7\,\,\,\vdots\,\,\, d\end{cases}$

$\Rightarrow \left( 4{{n}^{2}}+14n+7 \right)-\left( 4{{n}^{2}}+14n+6 \right)\,\,\,\vdots \,\,\,d$

$\Rightarrow 1\,\,\,\vdots \,\,\,d$

$\Rightarrow d=1$

Như vậy $\left( n+3;4{{n}^{2}}+14n+7 \right)$ là hai số nguyên tố cùng nhau

Để tích $\left( n+3 \right)\left( 4{{n}^{2}}+14n+7 \right)$ là SCP

Thì $\left( n+3 \right)$ là SCP và $4{{n}^{2}}+14n+7$ cũng là SCP

 

Nhận xét với $n$ là số nguyên dương $\left( n\ge 1 \right)$

Thì $4{{n}^{2}}+8n+4<4{{n}^{2}}+14n+7<4{{n}^{2}}+16n+16$

$\Rightarrow {{\left( 2n+2 \right)}^{2}}<4{{n}^{2}}+14n+7<{{\left( 2n+4 \right)}^{2}}$

Do $4{{n}^{2}}+14n+7$ kẹp giữa hai SCP liền trước và liền sau

Nên $4{{n}^{2}}+14n+7={{\left( 2n+3 \right)}^{2}}$

$\Leftrightarrow 4{{n}^{2}}+14n+7=4{{n}^{2}}+12n+9$

$\Leftrightarrow 2n=2$

$\Leftrightarrow n=1$ (thỏa mãn)

 

Với $n=1$ thì $n+3=4$ cũng là số chính phương

Như vậy với $n=1$ thì $n+3$ là SCP và $4{{n}^{2}}+14n+7$ là SCP

Nên tích $\left( n+3 \right)\left( 4{{n}^{2}}+14n+7 \right)$ là SCP khi $n=1$

 

 

Câu 2:

1)  Giải hệ phương trình $\begin{cases}x^3-y^3=4x+2y\\x^2+3y^2=4\end{cases}$

Với ${{x}^{3}}-{{y}^{3}}=4x+2y$

$\Leftrightarrow {{x}^{3}}-{{y}^{3}}=2\left( 2x+y \right)$

$\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}-2{{y}^{3}}=4\left( 2x+y \right)$

$\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}-2{{y}^{3}}=\left( {{x}^{2}}+3{{y}^{2}} \right)\left( 2x+y \right)$   (vì ${{x}^{2}}+3{{y}^{2}}=4$)

$\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}-2{{y}^{3}}=2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}y+6x{{y}^{2}}+3{{y}^{3}}$

$\Leftrightarrow 5{{y}^{3}}+6x{{y}^{2}}+{{x}^{2}}y=0$

$\Leftrightarrow y\left( 5{{y}^{2}}+6xy+{{x}^{2}} \right)=0$

$\Leftrightarrow y\left( 5y+x \right)\left( y+x \right)=0$

$\Leftrightarrow y=0$   hoặc   $x=-5y$   hoặc   $x=-y$

 

Với $y=0$ thay vào ${{x}^{2}}+3{{y}^{2}}=4$

Ta được ${{x}^{2}}=4$

$\Leftrightarrow x=\pm 2$

 

Với $x=-5y$ thay vào ${{x}^{2}}+3{{y}^{2}}=4$

Ta được ${{\left( -5y \right)}^{2}}+3{{y}^{2}}=4$

$\Leftrightarrow 25{{y}^{2}}+3{{y}^{2}}=4$

$\Leftrightarrow 28{{y}^{2}}=4$

$\Leftrightarrow {{y}^{2}}=\dfrac{1}{7}$

$\Leftrightarrow y=\pm \dfrac{\sqrt{7}}{7}$

$\Leftrightarrow x=\mp \dfrac{5\sqrt{7}}{7}$

 

Với $x=-y$ thay vào ${{x}^{2}}+3{{y}^{2}}=4$

Ta được ${{\left( -y \right)}^{2}}+3{{y}^{2}}=4$

$\Leftrightarrow {{y}^{2}}+3{{y}^{2}}=4$

$\Leftrightarrow 4{{y}^{2}}=4$

$\Leftrightarrow {{y}^{2}}=1$

$\Leftrightarrow y=\pm 1$

$\Leftrightarrow x=\mp 1$

 

Vậy $\left( x;y \right)=\left( \pm 2;0 \right)\,\,,\,\,\left( \mp \dfrac{5\sqrt{7}}{7};\pm \dfrac{\sqrt{7}}{7} \right)\,\,,\,\,\left( \mp 1;\pm 1 \right)$

 

 

2)  Giải phương trình: ${{x}^{2}}-2x=2\sqrt{2x-1}$ (ĐK: $x\ge \dfrac{1}{2}$)

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\left( 2x-1 \right)+2\sqrt{2x-1}+1$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}={{\left( \sqrt{2x-1}+1 \right)}^{2}}$

$\Leftrightarrow x=\sqrt{2x-1}+1$   hoặc   $x=-\sqrt{2x-1}-1$

$\Leftrightarrow \sqrt{2x-1}=x-1$   hoặc   $\sqrt{2x-1}=-x-1$

$\Leftrightarrow\begin{cases}2x-1=x^2-2x+1\\x-1\ge 0\end{cases}$   hoặc   $\begin{cases}2x-1=x^2+2x+1\\-x-1\ge 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}x^2-4x+2=0\\x\ge 1\end{cases}$   hoặc   $\begin{cases}x^2+2=0\\x\le -1\end{cases}$ (vô nghiệm)

$\Leftrightarrow\begin{cases}\left[\begin{array}{l}x=2+\sqrt{2}\,\,\,\left(\text{ thỏa mãn }\right)\\x=2-\sqrt{2}\,\,\,\left(\text{ không thỏa mãn }\right)\end{array}\right.\\x\ge 1\end{cases}$

 

Vậy $x=2+\sqrt{2}$