Đáp án: $P_{min} = \dfrac{3}{4}$ khi $\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = \dfrac{3}{2}$

Giải thích các bước giải:

Ta có : $P= \dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2} - 3.\bigg(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\bigg) + 5$

$ = \bigg( \dfrac{x^2}{y^2}+2+\dfrac{y^2}{x^2} \bigg) - 3.\bigg(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\bigg) + 3$

 $ = \bigg(\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}\bigg)^2 -3.\bigg(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\bigg) + 3$

Đặt $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}  = t$. Khi đó biểu thức $P$ trở thành :

$P = t^2-3t+3$

$ =\bigg( t^2-2.\dfrac{3}{2}.t+\dfrac{9}{4}\bigg)+\dfrac{3}{4}$

$ = \bigg(t-\dfrac{3}{2}\bigg)^2+\dfrac{3}{4} ≥ \dfrac{3}{4}$ $∀t$

Dấu "=" xảy ra $⇔t=\dfrac{3}{2}$ $⇔\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = \dfrac{3}{2}$

Vậy $P_{min} = \dfrac{3}{4}$ khi $\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = \dfrac{3}{2}$