`a)`

Xét `ΔABC` vuông tại `A` và `AH` là đường cao ta có:

              `AB²=BC.BH`(hệ thức lượng)`(1)`

Ta có:`AB⊥AC(g``t)`

`⇒AB` là tiếp tuyến của đường tròn `(C;AC)`

Trong đường tròn `(O)` ta có:

`hat{BEA}=hat{BAF}`(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn `1` cung)

Xét `ΔBEA` và `ΔBAF` có:

           `hat{B}:chung`

      `hat{BEA}=hat{BAF}(cmt)`

`⇒ΔBEA`$\backsim$`ΔBAF(g.g)`

`⇒(AB)/(BF)=(BE)/(AB)`

`⇒AB²=BE.BF(2)`

Từ `(1)` và `(2)⇒BC.BH=BE.BF(đpcm)`

                        `⇒(BH)/(BE)=(BF)/(BC)`

Xét `ΔBHF` và `ΔBEC` có:

            `hat{B}:chung`

       `(BH)/(BE)=(BF)/(BC)(cmt)`

`⇒ΔBHF`$\backsim$`ΔBEC(c.g.c)`

`⇒hat{H_4}=hat{BEC}(2` góc tương ứng)

Hay `hat{H_4}=hat{FEC}`

Xét tứ giác `EFHC` có:

    `hat{H_4}=hat{FEC}(cmt)`

`⇒` tứ giác `EFHC` nội tiếp đường tròn(dấu hiệu nhận biết)(đpcm)

`b)`

Vì tứ giác `EFHC` nội tiếp đường tròn

`⇒hat{EFC}=hat{H_1}(2` góc nội tiếp cùng chắn `1` cung)

Ta có:`CE=CF=R`

`⇒ΔCEF` cân tại `C`

`⇒hat{FEC}=hat{EFC}`(tính chất `Δ` cân)

Mà `hat{H_4}=hat{FEC}(cmt)`

       `hat{EFC}=hat{H_1}(cmt)`

`⇒hat{H_4}=hat{H_1}`

Mà `hat{H_1}+hat{H_2}=90^o`

       `hat{H_4}+hat{H_3}=90^o`

`⇒hat{H_2}=hat{H_3}`

`⇒HD` là phân giác của `hat{EHF}(đpcm)`

`c)`

Trong đường tròn `(O)` ta có:

`hat{ACF}=sđ`$\mathop{AF}\limits^{\displaystyle\frown}$(góc ở tâm)

`hat{AEF}=1/2sđ`$\mathop{AF}\limits^{\displaystyle\frown}$(góc nội tiếp)

`⇒hat{AEF}=1/2hat{ACF}(3)`

Ta có:`hat{ACF}=2hat{BFM}(g``t)`

`⇒hat{BFM}=1/2hat{ACF}(4)`

Từ `(3)` và `(4)⇒hat{BFM}=hat{AEF}`

Mà `2` góc này nằm ở vị trí đồng vị

`⇒MF////AE`

Hay `NF////AE`

Vì `MF////AE`, áp dụng hệ quả định lý Ta-lét ta có:

                      `(MF)/(AE)=(BF)/(BE)(5)`

Vì `NF////AE`, áp dụng hệ quả định lý Ta-lét ta có:

                      `(NF)/(AE)=(DF)/(DE)(6)`

Vì `HD` là phân giác trong của `hat{EHF}`

`⇒(HF)/(HE)=(DF)/(DE)`(tính chất phân giác trong)`(7)`

Ta có:`AH⊥BC(g``t)`

Hay `HD⊥HB`

Mà `HD` là phân giác trong của `hat{EHF}`

`⇒HB` là phân giác ngoài của `hat{EHF}`

`⇒(BF)/(BE)=(HF)/(HE)`(tính chất phân giác ngoài)`(8)`

Từ `(5),(6),(7),(8)⇒(MF)/(AE)=(NF)/(AE)`

`⇒MF=NF`

`⇒F` là trung điểm `MN(đpcm)`