Giải thích các bước giải:

a) Gọi $I$ là tâm đường tròn $(C_m)$

Ta có:

$\begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} - 2mx - 2\left( {m + 1} \right)y + 2m - 1 = 0\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + {m^2} + {y^2} - 2\left( {m + 1} \right)y + {\left( {m + 1} \right)^2} + 2m - 1 - {m^2} - {\left( {m + 1} \right)^2} = 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {x - m} \right)^2} + {\left( {y - m - 1} \right)^2} = 2{m^2} + 2\left( 1 \right)
\end{array}$

$ \to I\left( {m;m + 1} \right) \to I \in \left( d \right):x - y + 1 = 0$

Vậy $I\in \left( d \right):x - y + 1 = 0$

b) Ta có:

Từ $\left( 1 \right) \to R = \sqrt {2{m^2} + 2}  \ge \sqrt {2},\forall m$

Suy ra: $MinR = \sqrt 2 $

Dấu bằng xảy ra: $ \Leftrightarrow m = 0 \Rightarrow \left( C \right):{x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 2$

Vậy $\left( C \right):{x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 2$

c) Gọi $A(x_0,y_0)$ là điểm cố định mà mọi đường tròn $(C_m)$ đi qua.

Ta có:

$\begin{array}{l}
{\left( {{x_0} - m} \right)^2} + {\left( {{y_0} - m - 1} \right)^2} = {\left( {m - 1} \right)^2} + {\left( {m + 1} \right)^2}\\
 \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - m} \right)^2} - {\left( {m - 1} \right)^2} + {\left( {{y_0} - m - 1} \right)^2} - {\left( {m + 1} \right)^2} = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {{x_0} - 2m + 1} \right)\left( {{x_0} - 1} \right) + \left( {{y_0} - 2m - 2} \right){y_0} = 0(2)
\end{array}$

Suy ra $A(1;0)$ luôn thỏa mãn (2) với mọi $m$.

Vậy $A(1;0)$ luôn thuộc $(C_m)$ với mọi $m$

d) $(C_m)$ cắt $Oy$ $\to $ Hoành độ giao điểm của $(C_m)$ với $Oy$ là: $0$

Khi đó ta có tung độ của giao điểm của $(C_m)$ với $Oy$ thỏa mãn phương trình:

$\begin{array}{l}
  {\left( {0 - m} \right)^2} + {\left( {y - m - 1} \right)^2} = 2{m^2} + 2\\
 \Leftrightarrow {\left( {y - m - 1} \right)^2} = {m^2} + 2\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = m + 1 + \sqrt {{m^2} + 2} \\
y = m + 1 - \sqrt {{m^2} + 2} 
\end{array} \right.
\end{array}$

Suy ra $(C_m)$ cắt $Oy$ tại 2 điểm phân biệt.