c)

Gọi $D$ là giao điểm $AO$ và $B'C'$

Xét $\Delta AB'D$ và $\Delta AKC$, ta có:

+  $\widehat{KAC}$ là góc chung

+  $\widehat{AB'D}=\widehat{AKC}$   (cùng bằng $\widehat{ABC}$)

Nên $\Delta AB'D\backsim\Delta AKC\left( g.g \right)$

Do đó $\widehat{ADB'}=\widehat{ACK}=90{}^\circ $

Vậy $AO\bot B'C'$ tại $D$

Ta có tứ giác $AB'OC'$ có hai đường chéo $AO$ và $B'C'$ vuông góc với nhau

Nên ${{S}_{\Delta AB'OC'}}=\dfrac{1}{2}AO.B'C'=\dfrac{1}{2}R.B'C'$

Chứng minh hoàn toàn tương tự, ta có được:

+  ${{S}_{\Delta BC'OA'}}=\dfrac{1}{2}R.C'A'$

+  ${{S}_{\Delta CA'OB'}}=\dfrac{1}{2}R.A'B'$

 

$\Rightarrow {{S}_{AB'OC'}}+{{S}_{\Delta BC'OA'}}+{{S}_{\Delta CA'OB'}}=\dfrac{1}{2}R\left( A'B'+B'C'+C'A' \right)$

$\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}R\left( A'B'+B'C'+C'A' \right)$

 

Ta lại có ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AA'.BC$

Mà:

+  $AA'\le AM$ (theo quan hệ đường xiên – hình chiếu)

+  $AM\le AO+OM$ (theo bất đẳng thức tam giác)

Nên: ${{S}_{\Delta ABC}}\le \dfrac{1}{2}\left( AO+OM \right).BC$

$\Rightarrow \dfrac{1}{2}R\left( A'B'+B'C'+C'A' \right)\le \dfrac{1}{2}\left( AO+OM \right).BC$

$\Rightarrow A'B'+B'C'+C'A'\le \dfrac{\left( AO+OM \right).BC}{R}$ (const)

Vậy $\max =\dfrac{\left( AO+OM \right).BC}{R}$

Dấu “=” xảy ra khi $A,O,M$ thẳng hàng

Khi đó $A$ là điểm chính giữa cung lớn $BC$