Giải thích các bước giải:

`a)`
Trong `ΔADC` ta có:
`DN` là tia phân giác của `ΔADC`
`=>(AN)/(NC)=(AD)/(DC)(text{tính chất đường phân giác trong tam giác})`
Mà `DC=BD(text{AD là đường trung tuyến})`
`=>(AN)/(NC)=(AD)/(BD)(1)`
Trong `ΔADB` ta có:
`DM` là tia phân giác của `ΔADB`
`=>(AM)/(MB)=(AD)/(BD)(text{tính chất đường phân giác trong tam giác})(2)`
Từ `1` và `2`
`=>(AM)/(MB)=(AN)/(NC)(text{ĐPCM})`
`b)`
Ta có:
`(AM)/(MB)=(AN)/(NC)(cmt)`
`=>MN////BC(text{Ta let đảo})`

Trong $\Delta ABC$ có `MN////BC`

$=>ΔAMN\backsimΔABC(\text{ ĐPCM})$
`c)`
Trong `ΔABD` có `MI////BD(MN////BC)`
`=>(MI)/(BD)=(AI)/(AD)(text{hệ quả của định lý ta - let})(1)`
Trong `ΔACN` có `NI////DC(MN////BC)`
`=>(IN)/(DC)=(AI)/(AD)(text{hệ quả của định lý ta - let})(2)`
Từ `1` và `2`
`=>(MI)/(BD)=(IN)/(DC)` mà `BD=DC(text{AD là đường trung tuyến trong ΔABC})`
`=>MI=IN`
`=>I` là trung điểm của `MN(text{ĐPCM})`

`a)` Xét `ΔABD` có:

DM là đường phân giác (gt)

`=> (AM)/(MB) = (AD)/(DB) (1) ` (tính chất đường phân giác)

Xét `ΔADC` có:

`DN` là đường phân giác (gt)

`=> (AN)/(NC) = (AD)/(DC) (2) `

Vì AD là trung tuyến `ΔABC` `=> DB = DC(3)`

Từ (1), (2) và (3)

`=> (AM)/(MB) = (AN)/(NC)`

b) Xét `ΔAMN` và `ΔABC` có:

`(AM)/(MB) = (AN)/(NC)` (cmt)

Chung `hat{A}`

`=> ΔAMN ~ ΔABC (c.g.c)`

c)

Xét `ΔABC` có:

`(AM)/(MB) = (AN)/(NC)` (cmt)

`=> MN` // `BC` (định lý Ta-lét đảo)

Xét `ΔABD` có:

`MI` // `BD` (MN//BC - cmt)

`=> = (AI)/(ID) = (MI)/(BD) (4)` (hệ quả định lý Ta-lét)

Xét `ΔADC` có:

`IN` // `DC` (MN//BC - cmt)

`=> = (AI)/(ID) = (IN)/(DC) (5)` (hệ quả định lý Ta-lét)

Từ (3), (4) và (5)

`=> IM = IN`

`=>` I là trung điểm của MN.