a)

Nếu `x=0`

`⇔0-0-0+0+1=0`

`⇔1=0` (vô lý)

`⇔x\ne0`

`x^4-3x^3-6x^2+3x+1=0`

`⇔x^2-3x-6+3/x+1/x^2=0 (`vì `x\ne0` nên chia hai vế cho `x^2)`

`⇔x^2+1/x^2-2-3x+3/x-4=0`

`⇔(x^2-2+1/x^2)-3(x-1/x)-4=0`

`⇔(x-1/x)^2-3(x-1/x)-4=0`

Đặt `a=x-1/x`

`⇒a^2-3a-4=0`

`⇔a^2+a-4a-4=0`

`⇔a(a+1)-4(a+1)=0`

`⇔(a-4)(a+1)=0`

`⇔`\(\left[ \begin{array}{l}a-4=0\\a+1=0\end{array} \right.\) 

`⇔`\(\left[ \begin{array}{l}a=4\\a=-1\end{array} \right.\) 

`⇔`\(\left[ \begin{array}{l}x-\frac{1}{x}=4\\x-\frac{1}{x}=-1\end{array} \right.\) 

`⇔`\(\left[ \begin{array}{l}x^2-1-4x=0\\x^2-1+x=0\end{array} \right.\) 

`⇔`\(\left[ \begin{array}{l}(x-2)^2=\sqrt{5}\\(x+\frac{1}{2})^2=\sqrt{\frac{5}{4}}\end{array} \right.\)  

`⇔`\(\left[ \begin{array}{l}x=\sqrt{5}+2\\x=-\sqrt{5}+2\\x=\sqrt{\frac{5}{4}}-\frac{1}{2} \\x=-\sqrt{\frac{5}{4}}-\frac{1}{2} \end{array} \right.\)  

b)

`a^2/(a-1)+b^2/(b-1)≥8`

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

`a=(a-1)+1≥2\sqrt{(a-1)}`

`⇒a/\sqrt{(a-1)} ≥ 2`

`⇒a^2/(a-1)≥4`

Tương tự :

`b^2/(b-1)≥ 4`

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

`a^2/(a-1)+b^2/(b-1)≥2\sqrt{(a^2/(a-1))(b^2/(b-1))}=2\sqrt{4.4}=8`

`⇒a^2/(a-1)+b^2/(b-1)≥8`

 

Đáp án:

 b) $S=\bigg\{\dfrac{±\sqrt[]{5}-1}{2};±\sqrt[]{5}+2\bigg\}$

Giải thích các bước giải:

b) $x^4-3x^3-6x^2+3x+1=0$

$⇔(x^4+1) - (3x^3-3x) -6x^2=0$

$⇔[(x^2)^2-2x^2+1] - 3x.(x^2-1)-6x^2+2x^2=0$

$⇔(x^2-1)^2-3x.(x^2-1) - 4x^2=0$

$⇔[(x^2-1)^2+x.(x^2-1)]-[4x.(x^2-1)+4x^2] = 0 $

$⇔(x^2-1).(x^2-1+x)-4x.(x^2-1+x) = 0 $

$⇔(x^2+x-1).(x^2-4x-1)=0$

$⇔ \left[ \begin{array}{l}x^2+x-1=0\\x^2-4x-1=0\end{array} \right.$

$⇔ \left[ \begin{array}{l}x^2+2.x.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{5}{4}=0\\x^2-2.x.2+4-5=0\end{array} \right.$ 

$⇔ \left[ \begin{array}{l}\bigg(x+\dfrac{1}{2}\bigg)^2 = \dfrac{5}{4}(1)\\(x-2)^2=5(2)\end{array} \right.$

+) Phương trình $(1)$ tương đương :

$⇔ \left[ \begin{array}{l}x+\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt[]{5}}{2}\\x+\dfrac{1}{2} = -\dfrac{\sqrt[]{5}}{2}\end{array} \right.$

$⇔ \left[ \begin{array}{l}x=\dfrac{\sqrt[]{5}-1}{2}\\x+\dfrac{1}{2} = \dfrac{-\sqrt[]{5}-1}{2}\end{array} \right.$

+) Phương trình $(2)$ tương đương :

$⇔ \left[ \begin{array}{l}x-2=\sqrt[]{5}\\x-2=-\sqrt[]{5}\end{array} \right.$

$⇔ \left[ \begin{array}{l}x=\sqrt[]{5}+2\\x=-\sqrt[]{5}+2\end{array} \right.$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $S=\bigg\{\dfrac{±\sqrt[]{5}-1}{2};±\sqrt[]{5}+2\bigg\}$

b) 

Ta có : $\dfrac{a^2}{a-1} +\dfrac{b^2}{b-1}$

$ = \dfrac{a^2-1+1}{a-1} + \dfrac{b^2-1+1}{b-1}$

$ = \dfrac{(a-1).(a+1)+1}{a-1} + \dfrac{(b-1).(b+1)+1}{b-1}$

$ = a+1+\dfrac{1}{a-1} +b+1+\dfrac{1}{b-1}$

$ = \bigg(a-1+\dfrac{1}{a-1}\bigg) + \bigg(b-1+\dfrac{1}{b-1}\bigg) + 4$

Do $a,b>1 ⇒  \left\{ \begin{array}{l}a-1>0\\\dfrac{1}{a-1}>0\\b-1>0\\\dfrac{1}{b-1}>0\end{array} \right.$

Áp dụng BĐT AM-GM cho hai số lần lượt ta được :

$\bigg(a-1+\dfrac{1}{a-1}\bigg) + \bigg(b-1+\dfrac{1}{b-1}\bigg) + 4$

$≥2\sqrt[]{(a-1).\dfrac{1}{a-1}} + 2\sqrt[]{(b-1).\dfrac{1}{b-1}} + 4$

$ = 2+2+4=8$

Hay : $\dfrac{a^2}{a-1}+\dfrac{b^2}{b-1} ≥ 8$

Dấu "=" xảy ra $⇔a=b=2$

Vậy ta có điều phải chứng minh !