Giải thích các bước giải:

a.Ta có $MB,ME$ là tiếp tuyến của $(O)\to OM\perp BE=I$

Mà $DE\perp AB=C$

$\to \widehat{OIE}=\widehat{OCE}=90^o$

$\to OIEC$ nội tiếp

b. Ta có $AB$ là đường kính của $(O)\to AE\perp BE$

Mà $CE\perp AB\to AE^2=AC\cdot AB=\dfrac{R}{4}\cdot 2R=\dfrac{R^2}{2}$

$\to AE=\dfrac{R}{\sqrt{2}}$

c.Ta có $BM//DE(\perp AB)$

$\to \widehat{HMK}=\widehat{KDE}=\widehat{MEH}$ vì $ME$ là tiếp tuyến của $(O)$

Mặt khác $\widehat{KHM}=\widehat{EHM}$

$\to\Delta HKM\sim\Delta HME(g.g)$

$\to\dfrac{HK}{HM}=\dfrac{HM}{HE}$

$\to HM^2=HK.HE$

d.Ta có $\widehat{HBK}=\widehat{HEB}$ vì $MB$ là tiếp tuyến của $(O), \widehat{BHK}=\widehat{BHE}$

$\to\Delta HBK\sim\Delta HEB(g.g)$

$\to\dfrac{HB}{HE}=\dfrac{HK}{HB}$

$\to HB^2=HE.HK$

$\to HB^2=HM^2\to HB=HM\to H$ là trung điểm $BM$

Mà $ME,MB$ là tiếp tuyến của $(O)\to MO\perp BD=I$ là trung điểm $BE$

Lại có $MI\cap EH=G$ là trọng tâm $\Delta MBE$

$\to MG=\dfrac23MI$

Ta có $O,I$ là trung điểm $AB,BE\to OI$ là đường trung bình $\Delta BAE\to OI=\dfrac12AE=\dfrac{R}{2\sqrt{2}}$

Mà $OE\perp ME, EI\perp MO\to OE^2=OI\cdot OM$

$\to R^2=\dfrac{R}{2\sqrt{2}}\cdot OM$

$\to OM=2\sqrt{2}R$

$\to MI=MO-OI=2\sqrt{2}R- \dfrac{R}{2\sqrt{2}}=\dfrac{7\sqrt{2}R}{4}$

$\to MG=\dfrac{14\sqrt{2}R}{12}$