Đáp án:

1) Thay x=2 vào pt ta được:

$\begin{array}{l}
{2^2} + \left( {3 - m} \right).2 + 2.\left( {m - 5} \right)\\
 = 4 + 6 - 2m + 2m - 10\\
 = 0
\end{array}$

=> x=2 là nghiệm của pt với mọi m

2)

Để x = 5 - 2√2 là nghiệm thì:

$\begin{array}{l}
Theo\,Viet:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = m - 3\\
{x_1}{x_2} = 2\left( {m - 5} \right)
\end{array} \right.\\
Do:{x_1} = 2;{x_2} = 5 - 2\sqrt 2 \\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2 + 5 - 2\sqrt 2  = m - 3\\
2.\left( {5 - 2\sqrt 2 } \right) = 2\left( {m - 5} \right)
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = 10 - 2\sqrt 2 \\
5 - 2\sqrt 2  = m - 5
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = 10 - 2\sqrt 2 \\
m = 10 - 2\sqrt 2 
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow m = 10 - 2\sqrt 2 
\end{array}$

1) 

$\Delta= (m-3)^2-4.2(m-5)$

$= m^2-6m+9-8m+40$

$= m^2-14m+49$

$= (m-7)^2\ge 0$ 

$\Rightarrow$ Phương trình luôn có nghiệm. 

Thay $x=2$:

$2^2+2(3-m)+2(m-5)=0$

$\Leftrightarrow 0m=0$ (luôn đúng) 

Vậy $\forall m$, phương trình luôn có nghiệm, trong đó có 1 nghiệm là $x_1=2$ 

2)

Theo Viet: $x_1+x_2=-(3-m)= m-3$ 

Vì $x_1=2; x_2=5-2\sqrt2$ nên:

$2+5-2\sqrt2 = m-3$

$\Leftrightarrow m=10-2\sqrt2$