Lời giải:

a, Vì `\triangleABC` cân tại `A`

`=> AB = AC`

Vì `M` là trung điểm của `BC`

`=> BM = CM`

Xét `\triangleAMB` và `\triangleAMC` có:

`AB = AC (cmt)`

`BM = CM (cmt)`

`AM` là cạnh chung

`=> \triangleAMB = \triangleAMC (c . c . c)`

`=> \hat{AMB} = \hat{AMC}` (Hai góc tương ứng)

Mà `\hat{AMB} + \hat{AMC} = 180^o` (Hai góc kề bù)

`=> \hat{AMB} = \hat{AMC} = (180^o)/2 = 90^o`

b, Ta có:

`BC = BM + CM`

Mà `BM = CM`

`=> BM = CM = 6/2 = 3 (cm)`

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông `AMB` có:

`AB^2 = AM^2 + BM^2`

`8^2 = AM^2 + 3^2`

`64 = AM^2 + 9`

`AM^2 = 64 - 9`

`AM^2 = 55`

`AM = \sqrt{55}`

Vậy `AM = \sqrt{55}` `(cm)`

c, Xét `\triangleHMB \bot` tại `M` và `\triangleHMC \bot` tại `M` có:

`BM = CM (cmt)`

`HM` là cạnh chung

`=> \triangleHMB = \triangleHMC` (Hai cạnh góc vuông)

`=> \hat{MHB} = \hat{MHC}` (Hai góc tương ứng)

Ta thấy:

`\hat{MHB} = \hat{AHE}` (Hai góc đối đỉnh)

`\hat{MHC} = \hat{AHF}` (Hai góc đối đỉnh)

Mà `\hat{MHB} = \hat{MHC} (cmt)`

`=> \hat{AHE} = \hat{AHF}`

Ta có:

`EF //// BC`

Mà `\hat{HMB} = \hat{HMC} = 90^o`

`=> \hat{HAE} = \hat{HAF} = 90^o` (Từ song song đến vuông góc)

Xét `\triangleHAE \bot` tại `A` và `\triangleHAF \bot` tại `A` có:

`\hat{AHE} = \hat{AHF} (cmt)`

`AH` là cạnh chung

`=> \triangleHAE = \triangleHAF` (Cạnh góc vuông - góc nhọn kề)

`=> AE = AF` (Hai cạnh tương ứng)

`=> A` là trung điểm của `EF`