Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

Tớ giả thiết $ \Delta ABC $ nhọn. Các trường hợp khác

cậu tự xử lý

Trước hết công nhận bổ đề sau: Tam giác có góc bằng 

$45^{0}$ thì khoảng cách từ đỉnh của góc đó đến trực tâm

bằng độ dài cạnh đối diện . (Dễ Cậu tự cm)

Áp dụng vào bài toán dễ thấy :

$ \Delta BIC = \Delta BID = \Delta EIC (c.g.c)$

Mà $ BIC = 180^{0} - \dfrac{B + C}{2} = 180^{0} - (90^{0} - \dfrac{A}{2}) = 105^{0}$

$ => DIE = 360^{0}  - 3.105^{0} = 45^{0} (1)$

Mặt khác vì $BAC = 30^{0} => BOC = 60^{0}$

Và $ \Delta BOC$ đều $ => \Delta BOD$ cân $B$

$ => BDO = 90^{0} - \dfrac{DBO}{2} = 90^{0} - \dfrac{B - 60^{0}}{2} = 120^{0} - \dfrac{B}{2}$

$ => IDO = BDO - BDI = 120^{0} - \dfrac{B}{2} - \dfrac{C}{2} $

$ = 120 - 75^{0} = 45^{0} (2)$

Từ $ (1); (2) => DO$ vuông góc $IE$

Tương tự $ EO$ vuông góc $ ID$

$ => O$ là trực tâm $\Delta IDE (3)$

$ => IO$ vuông góc $DE (đpcm)$

Từ $ (1); (3)$ theo bổ đề trên $ => IO = DE (đpcm)$