Giải thích các bước giải:

a.Ta có $MA\perp AB, EI\perp MN$

$\to \widehat{MEI}=\widehat{MAI}=90^o$

$\to \Diamond AMEI$ nội tiếp đường tròn đường kính $MI$ 

b.Vì $AB$ là đường kính của $(O)\to AE\perp BE$

Mà $IE\perp EN$

$\to\widehat{AEB}=\widehat{IEN}(=90^o)$

$\to\widehat{AEI}+\widehat{IEB}=\widehat{IEB}+\widehat{BEN}$

$\to\widehat{AEI}=\widehat{BEN}$

Ta có $BN$ là tiếp tuyến của (O)

$\to\widehat{EBN}=\widehat{EAB}=\widehat{EAI}$

$\to\Delta IAE\sim\Delta NBE(g.g)$

$\to \dfrac{IA}{NB}=\dfrac{IE}{NE}$

$\to \dfrac{3IA}{NB}=\dfrac{3IE}{NE}$

Mà $I$ là trung điểm $OA\to BI=3AI$

$\to \dfrac{BI}{NB}=\dfrac{3IE}{NE}$

$\to IB.NE=3IE.NB$

c.Chứng minh tương tự câu a $\to \Diamond ENBI$ nội tiếp

$\to \widehat{ENI}=\widehat{EBI}\to \widehat{MNI}=\widehat{EBA}$

Tương tự $\widehat{EMI}=\widehat{EAI}\to\widehat{NMI}=\widehat{EAB}$

$\to\Delta IMN\sim\Delta EAB(g.g)$

$\to \widehat{MIN}=\widehat{AEB}=90^o$

$\to\Delta MIN$ vuông tại $I$

$\to S_{MIN}=\dfrac12MI.IN$

Ta có : $\widehat{MIA}=\widehat{INB}(+\widehat{MIA}=90^o)$

           $\widehat{MAI}=\widehat{NBI}=90^o$

$\to\Delta MAI\sim\Delta IBN(g.g)$

$\to \dfrac{MA}{IB}=\dfrac{AI}{BN}=\dfrac{MI}{IN}$

$\to MA.BN=AI.IB=\dfrac12R.\dfrac32R=\dfrac34R^2$

Ta có:

$S_{MNI}=\dfrac12IM.IN=\dfrac12\sqrt{AM^2+AI^2}.\sqrt{BN^2+BI^2}$

$\to S_{MNI}\ge \dfrac12\sqrt{(AM.BN+AI.BI)^2}=\dfrac12(AM.BN+AI.BI)=\dfrac12.2AI.BI$ vì $AI.BI=AM.BN$

$\to S_{MIN}\ge AI.BI=\dfrac34R^2$

Dấu = xảy ra khi $\dfrac{AM}{BN}=\dfrac{AI}{BI}=\dfrac13$

cho mình hỏi là đề này của tỉnh nào thế ạ