Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 1) Chứng minh `AM=AN`

Ta có: `\hat{NBA}=\hat{DAB}` (so le trong do `BN////AD`)

`\hat{DAB}=\hat{DAC}` (gt)

`\hat{DAC}=\hat{ACM}` (so le trong do `CM////AD`)

`⇒ \hat{NBA}=\hat{MCA}` 

`⇒ sđ\ AM=sđ\ AN`

Vậy `AM=AN`

b) Ta có: `\hat{AEF}` là góc có đỉnh bên trong đường tròn

`\hat{AEF}=\frac{1}{2}.(sđ\ AN+sđ\ CM)`

                `=\frac{1}{2}.(sđ\ AM+sđ\ CM)`

                `=\frac{1}{2}.sđ\ AC=\hat{ABC}`

Vậy tứ giác `BCEF` nội tiếp đường tròn (tứ giác có góc ngoài =góc trong tại đỉnh đối diện)

`⇒` Bốn điểm `B,C,E,F` cùng thuộc 1 đường tròn

c) Gọi `AD∩EF={H},AD∩EQ={K}`

Áp dụng định lý Melenaus trong `ΔAHN`, cát tuyến `EHQ` ta có:

`\frac{EN}{EH}.\frac{KH}{KA}.\frac{QA}{QN}=1`

`⇒ \frac{EN}{EH}.\frac{KH}{KA}=1` (do Q là tđ của AN)

`⇒ \frac{EN}{EH}=\frac{KA}{KH}\ (1)`

Gọi `AD∩PE={K'}`. Ta đi chứng minh `K≡K'`

Áp dụng định lý Melenaus trong `ΔAHM`, cát tuyến `PKF` ta có:

`\frac{FM}{FH}.\frac{K'H}{K'A}.\frac{PA}{PM}=1`

`⇒ \frac{FM}{FH}.\frac{K'H}{K'A}=1` (do P là tđ của AM)

`⇒ \frac{FM}{FH}=\frac{K'A}{K'H}\ (2)`

Ta có: `\frac{EN}{EH}=\frac{FM}{FH}⇔\frac{FM}{EN}=\frac{FH}{EH}=\frac{FM-FN}{EN-EH}=\frac{HM}{HN}\ (*)` (tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

Vì `BN////AD////CM` nên: `\frac{HM}{HN}=\frac{DC}{DB}` (định lý Ta-lét)

Lại có: `\frac{DC}{DB}=\frac{AC}{AB}` (định lý đường phân giác)

`⇒ \frac{HM}{HN}=\frac{AC}{AB}\ (I)`

Xét `ΔAEF` và `ΔABC` có:

`\hat{AEF}=\hat{ABC}` (cmt)

`\hat{BAC}` chung

Do đó: `ΔAEF~ΔABC` (g-g)

Suy ra: `\frac{AC}{AB}=\frac{AF}{AE}\ (II)` (2 cạnh tương ứng tỉ lệ)

Từ `(I)` và `(II) ⇒ \frac{HM}{HN}=\frac{AF}{AE}\ (III)`

Áp dụng đinh lí đường phân giác `ΔAEF`, ta có:

`\frac{AF}{AE}=\frac{HF}{HE}\ (IV)`

Từ `(III)` và `(IV) ⇒ \frac{HM}{HN}=\frac{HF}{HE}`, do đó `(*)` đã được chứng minh, tức là `\frac{EN}{EH}=\frac{FM}{FH}\ (3)`

Từ `(1),(2),(3) ⇒ \frac{KA}{KH}=\frac{K'A}{K'H}` 

`⇒ K≡K'`

Vậy `EQ,FP,AD` đồng quy tại `K`

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

      9x³=xy²+70(x-y)               

⇔  9x³=xy²+10.7.(x-y)            (1)

Từ x²+y²+xy=7   (2)   thế vào (1) ta được:

      9x³=xy²+10(x²+y²+xy)(x-y)

⇔  9x³=xy²+10(x³-y³)

⇔  x³+xy²-10y³=0                  (3)

Xét y=0 ⇒ x=0 (không thõa mãn hệ)

Xét y khác 0: chia cả 2 vế của phương trình (3)  cho y³ ta được

     (x/y)³+x/y - 10=0

Đặt t=x/y, phương trình trên trở thành:

     t³+t-10=0 ⇔ t=2

Khi đó x/y=2 ⇒ x=2y thế vào (2) ta được 

     (2y)²+y²+2y.y=7

⇔ 7y²=7 ⇔ y²=1 ⇔ y=±1

Với y=1 ⇒ x=2 ta được nghiệm {2;1}

Với y=-1 ⇒ x=-2 ⇒ ta được nghiệm {-2;-1}