Giải thích các bước giải:

a.Vì $DM,DA$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to OD$ là phân giác $\widehat{AOM}$

Tương tự $OE$ là phân giác $\widehat{MOB}$

$\to\widehat{DOE}=\widehat{DOM}+\widehat{MOE}=\dfrac12\widehat{AOM}+\dfrac12\widehat{MOB}=\dfrac12\widehat{AOB}=90^o$

$\to\Delta DOE$ vuông tại $O$

b.Ta có $\Delta DOE$ vuông tại $O, OM\perp DE\to DM.ME=OM^2=R^2$
Vì $DM,DA$ là tiếp tuyến của $(O)\to DM=DA$

Tương tự $EM=EB$

$\to AD.BE=DM.ME=R^2$ không đổi

c.Gọi $AM\cap BE=F$

Vì $AB$ là đường kính của (O)

$\to AM\perp BM$

Mà $EM,EB$ là tiếp tuyến của (O)$\to EO\perp BM$

$\to OE//AM\to OE//AF$

Mà $O$ là trung điểm $AB\to E$ là trung điểm $BF$

Lại có $FB\perp AB\to MH//BF$

Gọi $AE\cap MH=I$

$\to \dfrac{IM}Ư{FE}=\dfrac{AI}{AE}=\dfrac{HI}{BE}$

Mà $EB=EF$ vì $E$ là trung điểm $BF$

$\to IM=IH$

$\to I$ là trung điểm $MH$

d.Tương tự câu c $\to D, I,B$ thẳng hàng

Ta óc $\Delta OEB$ vuông tại $B, OE=2R=2OB$

$\to \Delta OBE$ là nửa tam giác đều

$\to BE=R\sqrt{3},\widehat{EOB}=60^o\to \widehat{MAO}=\widehat{EOB}=60^o$ vì $OE//AF$
$\to \Delta MOA$ đều

$\to AM=OA=R$

Mà $MH\perp AB\to \Delta MHA$ là nửa tam giác đều

$\to MH=\dfrac{AM\sqrt{3}}{2}=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}$

Mà $I$ là trung điểm $MH\to IH=\dfrac12IM=\dfrac{R\sqrt{3}}{4}$

$\to IB=\sqrt{IH^2+HB^2}=\sqrt{(\dfrac{R\sqrt{3}}{4})^2+(\dfrac32R)^2}=\dfrac{\sqrt{39}R}{4}$

Ta có : $AD//BE$

$\to \dfrac{ID}{IB}=\dfrac{AH}{HB}=\dfrac13$

$\to ID=\dfrac13IB=\dfrac{\sqrt{39}R}{12}$