Giải thích các bước giải:

1.Ta có $HD\perp AB, HE\perp AC, AB\perp AB$

$\to ADHE$ là  hình chữ nhật

Mà $O$ là trung điểm $BC$

$\to\widehat{OAC}=\widehat{OCA}=\widehat{ACB}=90^o-\widehat{ABC}=90^o-\widehat{ABH}=\widehat{BAH}=\widehat{HAD}=\widehat{ADE}$

$\to AO\perp DE$

Mà $AK\perp AO\to AK//DE$

$\to\widehat{KAB}=\widehat{ADE}=\widehat{DAH}$

$\to AB$ là phân giác $\widehat{KAH}$

Mà $AC\perp AB\to AC$ là phân giác ngoài tại đỉnh $A$ của $\Delta AKH$

$\to \dfrac{BH}{BK}=\dfrac{CH}{CK}$

$\to BH.KC=KB.HC$

2.Vì $ADHE$ là hình chữ nhật $\to AH\cap DE=I$ là trung điểm mỗi đường

Gọi $AC\cap BP=G$

$\to \Delta AGB$ vuông tại $A$

Ta có $\Delta ABC$ vuông tại $A, O$ là trung điểm $BC$

$\to OB=OA$

Mà $PA\perp OA, PB\perp OB$

$\to PA^2=PO^2-OA^2=PO^2-PB^2=PB^2\to PA=PB$

$\to \widehat{PBA}=\widehat{PAB}$

$\to 90^o-\widehat{PBA}=90^o-\widehat{PAB}$

$\to \widehat{PGA}=\widehat{PAG}$

$\to PA=PG$

$\to PG=PB$

$\to P$ là trung điểm $BG$

Xét $\Delta CBG$ có : $CB//AH, A\in CG, H\in CB, I$ là trung điểm $AH, P$ là trung điểm $BG$

$\to C,I,P$ thẳng hàng

3.Ta có $AH\perp BC\to \widehat{CHA}=\widehat{CAB}=90^o$

Mà $\widehat{ACH}=\widehat{ACB}$

$\to\Delta CAH\sim\Delta CBA(g.g)$

$\to \dfrac{CH}{CA}=\dfrac{AH}{AB}$

$\to \dfrac{CH}{CA}=\dfrac{2AH}{2AB}$

$\to \dfrac{CH}{CA}=\dfrac{HF}{AQ}$

Mà $\widehat{CHF}=\widehat{CAQ}=90^o$

$\to \Delta CHF\sim\Delta CAQ(c.g.c)$

$\to\widehat{FCH}=\widehat{QCA}$

$\to\widehat{FCH}-\widehat{ACB}=\widehat{QCA}-\widehat{ACB}$

$\to\widehat{ACF}=\widehat{BCQ}$

4.Gọi $HE\cap FC=J, HD\cap FB=L$

Ta có $HD\perp AB\to HD//AC, HE\perp AC\to HE//AB$

$\to HL//CM, HJ//BN, AM//HL, AN//HJ$

Mà $AF=AH\to A$ là trung điểm $HF$

$\to AN, AM$ là đường trung bình $\Delta FHJ, \Delta FHL$

$\to NF=NJ, MF=ML$

$\to\dfrac{FM}{MB}=\dfrac{ML}{MB}=\dfrac{CH}{CB} (HL//MC)$

Tương tự $\dfrac{FN}{NC}=\dfrac{NJ}{NC}=\dfrac{BH}{BC}( HJ//BN)$

$\to\dfrac{FM}{MB}+\dfrac{FN}{NC}=\dfrac{CH}{CB}+\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{BH+CH}{BC}=\dfrac{BC}{BC}=1$