Giải thích các bước giải:

a.Ta có $AK\perp CM, AH\perp BC\to\widehat{AKC}=\widehat{AHC}=90^o$

$\to AKHC$ nội tiếp

b.Vì $M$ là trung điểm $AB\to MA=MB$

Xét $\Delta AMC$ có $MA\perp AC, AK\perp CM$

$\to MA^2=MK.MC$

$\to MB^2=MK.MC$

$\to\dfrac{MB}{MC}=\dfrac{MK}{MB}$

Mà $\widehat{BMK}=\widehat{CMB}$

$\to\Delta MKB\sim\Delta MBC(c.g.c)$

c.Ta có : $AKHC$ nội tiếp

$\to\widehat{HKC}=\widehat{HAC}=\widehat{ABC}=\widehat{MBH}$

$\to MKHB$ nội tiếp

Mà $\Delta AHB$ vuông tại $H,M$ là trung điểm $AB\to HM=MB$

$\to\widehat{MKB}=\widehat{MHB}=\widehat{MBH}=\widehat{KHC}$

Mà $IK\perp CM$

$\to\widehat{BKI}=90^o-\widehat{BKM}=90^o-\widehat{HKC}=\widehat{IKH}$

$\to KI$ là phân giác $\widehat{BKH}$

Mà $KC\perp KI$

$\to KC$ là phân giác ngoài $\Delta KBH$
$\to \dfrac{IH}{IB}=\dfrac{CH}{CB}$

$\to HI.BC=IB.CH$